Nos problemas 31 a 35, encontre a solução geral para cada equação diferencial, sabendo que
é uma solução da EDO linear homogênea associada a cada uma dessas EDOs.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação não-homogênea de Euler
, sabendo que
é uma solução da homógenea associada. Vamos usar a teoria de equações equidimensionais (Euler) para obter a solução geral do homogêneo e em seguida achar uma particular.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos a equação
e usamos o ansatz
. Substituindo, vem
ou seja
Passo 3
Logo a solução geral do homogêneo é
onde
Passo 4
Para encontrar uma solução particular
da não-homógenea, notamos que o termo independente é proporcional a
. Fazemos o palpite
Passo 5
Então
e
. Substituindo na equação original:
Passo 6
Queremos que isso seja igual a
, ou seja
. Daí
Passo 7
Portanto
Passo 8
A solução geral da equação não-homogênea é a soma do homogêneo com a particular: