Nos problemas 31 a 35, encontre a solução geral para cada equação diferencial, sabendo que y1 é uma solução da EDO linear homogênea associada a cada uma dessas EDOs.
x^2 y^prime prime+x y^prime-4 y=x ; y1=x^-2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação não-homogênea de Euler x^2y''+xy'-4y=x, sabendo que y1=x^-2 é uma solução da homógenea associada. Vamos usar a teoria de equações equidimensionais (Euler) para obter a solução geral do homogêneo e em seguida achar uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos a equação x^2y''+xy'-4y=0 e usamos o ansatz y=x^m. Substituindo, vem
m(m-1)+m-4=0
ou seja
m^2-4=0 m=pm2

Passo 3

Logo a solução geral do homogêneo é
yh=C1x^2+C2x^-2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias. Observamos que y1=x^-2 corresponde ao caso m=-2.

Passo 4

Para encontrar uma solução particular yp da não-homógenea, notamos que o termo independente é proporcional a x^1. Fazemos o palpite
yp=A x

Passo 5

Então yp'=A e yp''=0. Substituindo na equação original:
x^2cdot0 + xcdot A -4(Ax)=xA-4Ax=-3Ax

Passo 6

Queremos que isso seja igual a x, ou seja -3A x = x. Daí
A=-tfrac13

Passo 7

Portanto
yp=-tfrac13x

Passo 8

A solução geral da equação não-homogênea é a soma do homogêneo com a particular:

Resposta

y=C1x^2+C2x^-2-tfrac13x

Exercícios relacionados