(j2)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo envolve integrais de potências de seno e cosseno, e vamos usar a técnica de separar um fator de coseno quando o expoente for ímpar e depois aplicar substituição trigonométrica.
Passo 2
Observamos que o expoente de
é ímpar (5), então escrevemos
. Assim a integral fica
[ \displaystyle\int \sin^4 x,(\cos^2 x)^2,\cos x,dx ].
Em seguida usamos a identidade , e reservamos
para a substituição. Definimos
[ u=\sin x \quad\Longrightarrow\quad du=\cos x,dx ].
[ \displaystyle\int \sin^4 x,(\cos^2 x)^2,\cos x,dx ].
Em seguida usamos a identidade
[ u=\sin x \quad\Longrightarrow\quad du=\cos x,dx ].
Passo 3
Substituindo na integral original obtemos
[ \displaystyle\int u4,(1-u2)^2,du ].
Agora expandimos o quadrado: , então o integrando vira
. A integral fica
[ \displaystyle\int (u4-2u6+u^8),du = \int u^4,du -2\int u^6,du +\int u^8,du ].
[ \displaystyle\int u4,(1-u2)^2,du ].
Agora expandimos o quadrado:
[ \displaystyle\int (u4-2u6+u^8),du = \int u^4,du -2\int u^6,du +\int u^8,du ].
Passo 4
Integramos termo a termo:
[ \int u4,du=\frac{u5}{5}, \quad \int u6,du=\frac{u7}{7}, \quad \int u8,du=\frac{u9}{9} ].
Portanto a integral em função de é
[ \frac{u^5}{5} -2\cdot\frac{u^7}{7} +\frac{u^9}{9} +C ].
[ \int u4,du=\frac{u5}{5}, \quad \int u6,du=\frac{u7}{7}, \quad \int u8,du=\frac{u9}{9} ].
Portanto a integral em função de
[ \frac{u^5}{5} -2\cdot\frac{u^7}{7} +\frac{u^9}{9} +C ].
Passo 5
Por fim, voltamos a variável original
usando
.
[ \frac{\sin^5 x}{5} - \frac{2\sin^7 x}{7} + \frac{\sin^9 x}{9} + C ]
[ \frac{\sin^5 x}{5} - \frac{2\sin^7 x}{7} + \frac{\sin^9 x}{9} + C ]