(j2) integral sin ^4 x cos ^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin^4 x,cos^5 x,dx. O conteúdo envolve integrais de potências de seno e cosseno, e vamos usar a técnica de separar um fator de coseno quando o expoente for ímpar e depois aplicar substituição trigonométrica.

Passo 2

Observamos que o expoente de cos x é ímpar (5), então escrevemos cos^5 x=cos^4 x,cos x=(cos^2 x)^2cos x. Assim a integral fica
[ \displaystyle\int \sin^4 x,(\cos^2 x)^2,\cos x,dx ].
Em seguida usamos a identidade cos^2 x=1-sin^2 x, e reservamos cos x,dx para a substituição. Definimos
[ u=\sin x \quad\Longrightarrow\quad du=\cos x,dx ].

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
[ \displaystyle\int u4,(1-u2)^2,du ].
Agora expandimos o quadrado: (1-u^2)^2=1-2u^2+u^4, então o integrando vira u^4-2u^6+u^8. A integral fica
[ \displaystyle\int (u4-2u6+u^8),du = \int u^4,du -2\int u^6,du +\int u^8,du ].

Passo 4

Integramos termo a termo:
[ \int u4,du=\frac{u5}{5}, \quad \int u6,du=\frac{u7}{7}, \quad \int u8,du=\frac{u9}{9} ].
Portanto a integral em função de u é
[ \frac{u^5}{5} -2\cdot\frac{u^7}{7} +\frac{u^9}{9} +C ].

Passo 5

Por fim, voltamos a variável original x usando u=sin x.
[ \frac{\sin^5 x}{5} - \frac{2\sin^7 x}{7} + \frac{\sin^9 x}{9} + C ]

Resposta

sin^5 x5 - 2sin^7 x7 + sin^9 x9 + C

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