Find the unit tangent and unit normal vectors T(t) and N(t).
Use Formula 9 to find the curvature.
r(t)=lang<= t, t^2, 4rang<=

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
r(t)=lang<= t,;t^2,;4rang<=
e pede os vetores unitário tangente T(t), unitário normal N(t) e a curvatura kappa(t) usando a fórmula
kappa(t)=|T'(t)||r'(t)|

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada e a velocidade (norma da derivada):
r'(t)=lang<= 1,;2t,;0rang<=,
|r'(t)|=raiz1+(2t)^2+0=raiz1+4t^2

Passo 3

O vetor tangente unitário é
T(t)=r'(t)|r'(t)| =lang<= 1,,2t,,0rang<=raiz1+4t^2 =llang<= 1raiz1+4t^2,;2traiz1+4t^2,;0rrang<=

Passo 4

Vamos diferenciar T(t). Chamando D=(1+4t^2)^-1/2, temos
T(t)=lang<= D,;2t,D,;0rang<=
Derivando componente a componente:
D'=-12(1+4t^2)^-3/2cdot8t=-4t(1+4t^2)^3/2,
(2t,D)'=2D+2t,D'=2raiz1+4t^2-8t^2(1+4t^2)^3/2 =2(1+4t^2)^3/2
Logo,
T'(t) =llang<= -4t(1+4t^2)^3/2,;2(1+4t^2)^3/2,;0rrang<=,
e sua norma é
|T'(t)| =raiz(-4t)^2+2^2(1+4t^2)^3/2 =2raiz1+4t^2(1+4t^2)^3/2 =21+4t^2

Passo 5

O vetor normal unitário é
N(t) =T'(t)|T'(t)| =llang<= -tfrac4t(1+4t^2)^3/2,;tfrac2(1+4t^2)^3/2,;0rrang<= tfrac21+4t^2 =llang<= -2traiz1+4t^2,;1raiz1+4t^2,;0rrang<=

Passo 6

Finalmente, a curvatura pela fórmula
kappa(t)=|T'(t)||r'(t)| =tfrac21+4t^2raiz1+4t^2 =2(1+4t^2)^3/2

Resposta

T(t)=llang<= 1raiz1+4t^2,;2traiz1+4t^2,;0rrang<=,
N(t)=llang<= -2traiz1+4t^2,;1raiz1+4t^2,;0rrang<=,
kappa(t)=2(1+4t^2)^3/2

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