Nos problemas 31-36, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial. Não resolva.
y^prime prime-4 y^prime+5 y=e^5 t+t sen 3 t-cos 3 t

Passo 1

O enunciado pede a forma de uma solução particular para
y'' - 4y' + 5y = e^5t + tsen(3t) - cos(3t)
O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Para usá-lo, vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e ver se há ressonância com os termos forçantes.

Passo 2

Escrevendo a equação característica da parte homogênea
temos as raízes
Logo a solução homogênea é
Como (para ) e (para ) não coincidem com , não há ressonância e podemos usar o ansatz padrão.

Passo 3

Para o termo e^5t usamos
yp1 = A,e^5t
Para os termos envolvendo sen(3t) e cos(3t), o forçante é tsen(3t) (polinômio grau 1 vezes sen) e -cos(3t) (polinômio grau 0 vezes cos), então o ansatz é um polinômio de grau 1 em t para ambas as funções trigonométricas:
yp2 = (B,t + C)sen(3t) + (D,t + E)cos(3t)

Passo 4

A forma geral da solução particular é a soma dos dois ansatz:
yp = A,e^5t ;+; (B,t + C)sen(3t) ;+; (D,t + E)cos(3t)

Resposta

yp = A,e^5t + (B,t + C)sen(3t) + (D,t + E)cos(3t)

Exercícios relacionados