Nos problemas 31-36, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial. Não resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede apenas a forma de uma solução particular, sem resolver de fato. O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar, aplicável quando o termo não-homogêneo é uma combinação de polinômios, exponenciais, senos ou cossenos.
Passo 2
Começamos estudando a parte homogênea
A equação característica é
logo
é raiz dupla. Isso gera a solução homogênea
Passo 3
Para o termo não-homogêneo note que
é um polinômio de grau 2 multiplicado por
. Sem ressonância, a proposta seria
Passo 4
Mas como
é raiz dupla da homogênea, existe ressonância de ordem 2. Pelo método dos coeficientes a determinar, multiplicamos a forma inicial por
:
Expandindo dentro do expoente, obtemos a forma final da proposta:
Resposta
A forma de uma solução particular é
onde
,
e
são constantes a determinar.