Nos problemas 31-36, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial. Não resolva.
y^prime prime-4 y^prime+4 y=t^2 e^2 t-e^2 t

Passo 1

O enunciado dá a equação
y'' - 4y' + 4y = t^2 e^2t - e^2t
e pede apenas a forma de uma solução particular, sem resolver de fato. O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar, aplicável quando o termo não-homogêneo é uma combinação de polinômios, exponenciais, senos ou cossenos.

Passo 2

Começamos estudando a parte homogênea
y'' - 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0 implies (r-2)^2 = 0,
logo r=2 é raiz dupla. Isso gera a solução homogênea
yh = (C1 + C2 t)e^2t

Passo 3

Para o termo não-homogêneo note que
t^2 e^2t - e^2t = (t^2 - 1)e^2t
é um polinômio de grau 2 multiplicado por e^2t. Sem ressonância, a proposta seria
yp^* = e^2t(A t^2 + B t + C)

Passo 4

Mas como r=2 é raiz dupla da homogênea, existe ressonância de ordem 2. Pelo método dos coeficientes a determinar, multiplicamos a forma inicial por t^2:
yp = t^2,e^2t(A t^2 + B t + C)
Expandindo dentro do expoente, obtemos a forma final da proposta:
yp = e^2t(A t^4 + B t^3 + C t^2)

Resposta

A forma de uma solução particular é
yp = e^2t(A t^4 + B t^3 + C t^2),
onde A, B e C são constantes a determinar.

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