(4) Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
[\ln (\ln x)]^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ln(ln x) usando a regra da cadeia. O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas de funções compostas, em que aplicamos primeiro a derivada da função externa e depois multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 2

Identificamos a função externa e a interna. Seja
u(x) = ln x
e
f(u) = ln u
Então a função original é f(u(x)) = ln(ln x).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia, que diz
l[f(u(x))r]' = f'(u(x)) cdot u'(x)
Primeiro calculamos f'(u). Como f(u)=ln u, temos
f'(u) = 1u

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=ln x, sua derivada é
u'(x) = 1x

Passo 5

Substituindo em l[f(u(x))r]' = f'(u(x)),u'(x), obtemos
l[ln(ln x)r]' = 1u(x) cdot 1x = 1ln x cdot 1x

Resposta

l[ln(ln x)r]' = 1x,ln x

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