Nos problemas 33-36, use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para a equação de ordem mais alta dada.
y^(4)-3 y^prime prime-8 y=sen t

Passo 1

Temos a EDO y^(4) - 3y'' - 8y = sin t. O conteúdo é equação linear de coeficientes constantes com termo não homogêneo senoidal, e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Como o forçante é sin t, assumimos uma solução particular da forma yp = A cos t + B sin t. Para verificar se há ressonância, checamos se r=pm i anula a característica r^4 - 3r^2 - 8 = 0. Substituindo r=i obtemos 1 - 3(-1) - 8 = -4 neq 0, logo não há ressonância e o palpite é válido.

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp. Como d^2(cos t)/dt^2 = -cos t e similar para sin t, temos
yp'' = -Acos t - Bsin t = -yp,
yp'''' = (yp'')'' = (-yp)'' = -yp'' = yp

Passo 4

Substituindo na equação:
yp'''' - 3yp'' - 8yp = yp - 3(-yp) - 8yp = (1+3-8)yp = -4yp
Para igualar a sin t escrevemos
-4(Acos t + Bsin t) = sin t,
de onde -4A=0 e -4B=1. Assim A=0 e B=-1/4.

Resposta

yp = -tfrac14sin t

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