Calcule a área da parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 interior ao cilindro x^2+y^2=2 y.
Escolha uma opção:
  • 10 pi-8
  • 8 pi
  • 8 pi-16
  • 5 pi2
  • 4 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a área da parte da esfera definida por x^2+y^2+z^2=4 que está dentro do cilindro x^2+y^2=2y. Vamos usar conceitos de geometria espacial e integração para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que cada equação representa:
  • Esfera x^2+y^2+z^2=4: Essa é uma esfera de raio 2, centrada na origem (0,0,0).
  • Cilindro x^2+y^2=2y: Podemos reescrever essa equação completando o quadrado para y:
    x^2 + y^2 - 2y = 0 x^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0 x^2 + (y - 1)^2 = 1
    Isso mostra que o cilindro tem raio 1 e está deslocado 1 unidade no eixo y. Ele é “vertical”, ou seja, se estende ao longo do eixo z.

Passo 3

Nossa meta é encontrar a área da esfera que está dentro desse cilindro. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam a parametrização da esfera.
Nas coordenadas esféricas:
x = 2 sinphi costheta y = 2 sinphi sintheta z = 2 cosphi
Aqui, $ \phi $ é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e $ \theta $ é o ângulo azimutal (no plano xy).

Passo 4

O próximo passo é determinar os limites de integração para $ \phi $ e $ \theta $ que correspondem à região dentro do cilindro.
A condição para estar dentro do cilindro é:
phi
Substituindo as coordenadas esféricas:
theta
Isso implica que $ \phi $ varia de 0 a $ \theta $, e $ \theta $ varia de 0 a $ \pi $ (já que $ \sin\theta $ deve ser positivo).

Passo 5

Agora, vamos expressar a área da esfera dentro do cilindro usando a integral dupla:
Área = integral0^pi integral0^theta 4 sinphi , dphi , dtheta Á
Aqui, $ 4 \sin\phi , d\phi , d\theta $ é o elemento de área na esfera de raio 2.

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a $ \phi $:
phi

Passo 7

Agora, integramos o resultado com respeito a $ \theta $:
theta Á

Resposta

A área da parte da esfera interior ao cilindro é 4 pi.
Assim, a opção correta é:
  • 4 pi

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