Calcule a área da parte da esfera interior ao cilindro .
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a área da parte da esfera definida por que está dentro do cilindro . Vamos usar conceitos de geometria espacial e integração para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que cada equação representa:
Esfera : Essa é uma esfera de raio 2, centrada na origem (0,0,0).
Cilindro : Podemos reescrever essa equação completando o quadrado para :
Isso mostra que o cilindro tem raio 1 e está deslocado 1 unidade no eixo y. Ele é “vertical”, ou seja, se estende ao longo do eixo z.
Passo 3
Nossa meta é encontrar a área da esfera que está dentro desse cilindro. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam a parametrização da esfera.
Nas coordenadas esféricas:
Aqui, $ \phi $ é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e $ \theta $ é o ângulo azimutal (no plano xy).
Passo 4
O próximo passo é determinar os limites de integração para $ \phi $ e $ \theta $ que correspondem à região dentro do cilindro.
A condição para estar dentro do cilindro é:
phi
Substituindo as coordenadas esféricas:
theta
Isso implica que $ \phi $ varia de 0 a $ \theta $, e $ \theta $ varia de 0 a $ \pi $ (já que $ \sin\theta $ deve ser positivo).
Passo 5
Agora, vamos expressar a área da esfera dentro do cilindro usando a integral dupla:
Área = integral0^pi integral0^theta 4 sinphi , dphi , dtheta Á
Aqui, $ 4 \sin\phi , d\phi , d\theta $ é o elemento de área na esfera de raio 2.
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a $ \phi $:
phi
Passo 7
Agora, integramos o resultado com respeito a $ \theta $:
theta Á
Resposta
A área da parte da esfera interior ao cilindro é 4 pi.