Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{5 s-2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
\frac{1}{5s-2}.
Informações dadas: a expressão é uma função racional em s simples, sem outras dependências. A pergunta é: qual é \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{5s-2}\right\}, isto é, qual função de t tem essa transformada de Laplace?

Passo 2

Relembre dois fatos fundamentais sobre a transformada de Laplace (essas são as ferramentas que usaremos):
\text{(i) Linearidade: }\mathscr{L}^{-1}\{c\,F(s)\}=c\,\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}\quad\text{para constante }c.
\text{(ii) Transformada básica: }\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.á
Aqui a é uma constante real e t\ge0. O item (ii) é exatamente a forma padrão que o Teorema 7.3 costuma afirmar: a inversa de 1/(s-a) é e^{at}.

Passo 3

Nosso objetivo é manipular \dfrac{1}{5s-2} para colocá-la na forma de \dfrac{1}{s-a} multiplicada por alguma constante. Primeiro fatoramos 5 no denominador:
\frac{1}{5s-2}=\frac{1}{5\left(s-\dfrac{2}{5}\right)}.
Agora aplicamos a propriedade de linearidade (i): podemos retirar o fator constante \dfrac{1}{5} fora da transformada inversa.

Passo 4

Escrevendo explicitamente a transformação inversa e usando (i) e (ii):
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{5s-2}\right\} =\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s-\frac{2}{5}}\right\} =\frac{1}{5}\,\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-\frac{2}{5}}\right\}.
Pela fórmula básica (ii) com a=\dfrac{2}{5}, temos
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-\frac{2}{5}}\right\}=e^{\frac{2}{5}t}.

Passo 5

Portanto juntando tudo:
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{5s-2}\right\}=\frac{1}{5}e^{\frac{2}{5}t}.
Como checagem rápida, se fizermos a transformada direta de \dfrac{1}{5}e^{\frac{2}{5}t} obtemos
\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s-\frac{2}{5}}=\frac{1}{5s-2},
o que confirma que a inversa está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}e^{\frac{2}{5}t}

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