• Nos Problemas 35-40, mostre que a função f é descontínua no ponto especificado.
    llz|z|, & z neq 0 1, & z=0

Passo 1

Temos a função complexa definida por
f(z)= z|z|,&zneq0, 1,&z=0
o ponto de interesse é z0=0. O conteúdo aqui é continuidade de função de variável complexa, e vamos precisar usar a definição: f é contínua em z0 se
limzto z0f(z)=f(z0)

Passo 2

Para testar a existência do limite, escolhemos dois caminhos de aproximação até 0. Primeiro, pelo eixo real positivo: seja z=x>0. Então |z|=x e
f(x)=x|x|=1
Como xto0^+, temos f(x)to1.

Passo 3

Agora, aproximando-se pelo eixo real negativo: seja z=x<0. Aí |z|=-x (porque x<0), de modo que
f(x)=x|x|=x-x=-1
Quando xto0^-, então f(x)to-1.

Passo 4

Como pelas duas direções obtemos limites diferentes ( 1 e -1), o limite limzto0f(z) não existe, e em particular não pode ser igual a f(0)=1. Portanto, f é descontínua em z0=0.

Resposta

A função é descontínua em z=0 porque limzto0f(z) não existe (direções dão 1 e -1), logo não coincide com f(0)=1.

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