Seja
a função tal que
se
e
. Provar que
é infinitamente derivável.
Passo 1
O enunciado define a função
por
se
e
(para que fique contínua), e pede para provar que
é
. Vamos usar teoria de funções suaves e séries de Taylor para isso.
Passo 2
Para
, a função
é quociente de duas funções de classe
(
e
), com denominador não nulo. Logo, por composição e regras de derivação,
é
em
.
Passo 3
Resta mostrar que todas as derivadas de
existem em
. Para isso, escrevemos a expansão em série de Taylor de
:
Passo 4
Dividindo termo a termo por
(válido para
) obtemos
Resposta
A função
pertence a
, ou seja, é infinitamente derivável em todos os pontos.