Seja f a função tal que f(x)=sen xx se x neq 0 e f(0)=0. Provar que f é infinitamente derivável.

Passo 1

O enunciado define a função f: Rto R por f(x)=sin xx se xneq0 e f(0)=1 (para que fique contínua), e pede para provar que f é C^infty. Vamos usar teoria de funções suaves e séries de Taylor para isso.

Passo 2

Para xneq0, a função f(x)=sin xx é quociente de duas funções de classe C^infty ( sin x e x), com denominador não nulo. Logo, por composição e regras de derivação, f é C^infty em Rsetminus0.

Passo 3

Resta mostrar que todas as derivadas de f existem em x=0. Para isso, escrevemos a expansão em série de Taylor de sin x:
sin x=sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+1(2n+1)!

Passo 4

Dividindo termo a termo por x (válido para xneq0) obtemos
sin xx=sumn=0^infty(-1)^n,x^2n(2n+1)! Essa série de potências converge para todo x e define uma função analítica g(x)=sumn=0^infty(-1)^n,x^2n(2n+1)!. Como g(0)=1 e g(x)=f(x) para xneq0, concluímos que f=g em R, de modo que f é real-analítica e, em particular, infinitamente derivável em x=0.

Resposta

A função f pertence a C^infty( R), ou seja, é infinitamente derivável em todos os pontos.

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