• Nos Problemas 35-40, mostre que a função f é descontínua no ponto especificado.
    llz^3-1z-1, & |z| neq 1 3, & |z|=1

Passo 1

Nesse exercício, temos uma função de variável complexa definida por partes e queremos verificar a continuidade no ponto z0=i. O conteúdo principal envolve definição de limite de função de variável complexa e continuidade: para f ser contínua em z0, deve valer limzto z0f(z)=f(z0).

Passo 2

Para |z|neq1, podemos simplificar a expressão de f(z) usando a fatoração de diferença de cubos. De fato,
z^3-1z-1 = z^2 + z + 1,
logo, sempre que zneq1 (e em particular para z próximo de i mas com |z|neq1), vale f(z)=z^2+z+1.

Passo 3

Agora calculamos o limite quando zto i percorrendo pontos com |z|neq1:
limzto if(z)=limzto i(z^2+z+1)=i^2 + i + 1 = -1 + i + 1 = i
Por outro lado, como |i|=1, a definição por partes dá f(i)=3. Como o valor do limite ( i) difere de f(i) ( 3), concluímos que a continuidade falha em z0=i.

Resposta

A função é descontínua em z0=i, pois limzto if(z)=i é diferente de f(i)=3.

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