Calcular o limite seguinte (sem usar l’Hopital)
lim x 0 e^x+e^-x-2 x-13 x^3-160 x^5-12520 x^7x^9

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0e^x - e^-x - 2x - tfrac13x^3 - tfrac160x^5 - tfrac12520x^7x^9
O conteúdo principal é usar a série de Taylor (Maclaurin) de e^x e e^-x até o termo x^9 e identificar o coeficiente que sobra ao dividir por x^9.

Passo 2

Começamos escrevendo as expansões até x^9.
e^x = 1 + x + tfracx^22! + tfracx^33! + tfracx^44! + tfracx^55! + tfracx^66! + tfracx^77! + tfracx^88! + tfracx^99! + cdots
e^-x = 1 - x + tfracx^22! - tfracx^33! + tfracx^44! - tfracx^55! + tfracx^66! - tfracx^77! + tfracx^88! - tfracx^99! + cdots

Passo 3

Subtraindo essas duas séries, só ficam os termos ímpares:
e^x - e^-x = 2l(x + tfracx^33! + tfracx^55! + tfracx^77! + tfracx^99! + cdotsr)
Em seguida, escrevendo os coeficientes:
e^x - e^-x = 2x + tfrac26x^3 + tfrac2120x^5 + tfrac25040x^7 + tfrac2362880x^9 + cdots
Ou seja,
e^x - e^-x = 2x + tfrac13x^3 + tfrac160x^5 + tfrac12520x^7 + tfrac1181440x^9 + O(x^11)

Passo 4

Agora formamos o numerador dado subtraindo exatamente os primeiros termos:
e^x - e^-x - 2x - tfrac13x^3 - tfrac160x^5 - tfrac12520x^7 = tfrac1181440x^9 + O(x^11)

Passo 5

Por fim dividimos por x^9 e tomamos o limite xto0. Só sobra o coeficiente:
tfrac1181440x^9 + O(x^11)x^9 = 1181440 + O(x^2) xrightarrow[xto0] 1181440

Resposta

1181440

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