Nos Problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita as condições iniciais indicadas.
y^prime prime prime-8 y=0, y(0)=0, y^prime(0)
=4, y^prime prime prime prime(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 8y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=0, y'(0)=4 e y''(0)=5. Vamos usar o método das equações características.

Passo 2

Para obter a solução geral, montamos a equação característica associada:
r^3 - 8 = 0
Suas raízes são as três raízes cúbicas de 8, ou seja:
$$
r_1 = 2,
\quad r_{2,3} = 2e^{ frac{2
i\pi}{3}} = -1 \pm
i,
theta{3}
y(x) = C_1 e^{2x} + e^{-x}igl(C_2,\cos(\sqrt{3}x) + C_3,\sin(\sqrt{3}x)\bigr).
$$

Passo 3

Agora calculamos as derivadas e aplicamos as condições iniciais. Primeiro:
y'(x) = 2C1 e^2x + e^-xl[-(C2cos(raiz3x)+C3sin(raiz3x)) + (-raiz3C2sin(raiz3x)+raiz3C3cos(raiz3x))r],
y''(x) = 4C1 e^2x + e^-xl[(1-3)C2cos(raiz3x) -2raiz3C3cos(raiz3x) + dotsr],
Mas, de forma mais direta, ao avaliar em x=0 obtemos o sistema:
C1 + C2 = 0, 3C1 + raiz3,C3 = 4, 6C1 - 2raiz3,C3 = 5

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Do primeiro: C2 = -C1.
Dos dois últimos: multiplicando a segunda equação por 2 e somando com a terceira, obtemos 12C1 = 13, logo C1 = tfrac1312. Substituindo em 3C1 + raiz3C3 = 4 C3 = tfracraiz34 e então C2 = -tfrac1312.

Passo 5

Substituindo os valores de C1,C2,C3 na solução geral, chegamos ao resultado final.

Resposta

[y(x)=\frac{13}{12}e^{2x} + e^{-x}\Bigl(-\frac{13}{12}\cos(\sqrt{3}x) + \frac{\sqrt{3}}{4}\sin(\sqrt{3}x)\Bigr)]

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