Nos Problemas 41-44, use o Teorema 2.6.3 para determinar a maior região no plano complexo em que a função
é contínua.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função f dada por f(z)=Re(z)·Im(z) e queremos, usando o Teorema 2.6.3 sobre continuidade de funções de variáveis complexas, achar a maior região em que f é contínua.
Passo 2
Escrevendo em coordenadas reais: se z=x+iy então Re(z)=x e Im(z)=y. Logo f(z)=x·y. Sabemos que as projeções x↦x e y↦y são contínuas em todo $\mathbb{R}^2$, e as funções Re e Im são contínuas em todo $\mathbb{C}$. Além disso, o produto de duas funções contínuas é contínuo.
Passo 3
Aplicando o Teorema 2.6.3: como Re(z) e Im(z) são contínuas em $\mathbb{C}$ e o produto preserva continuidade, f(z)=Re(z)·Im(z) é contínua em todo o plano complexo.
Resposta
A maior região de continuidade de f é todo o plano complexo $\mathbb{C}$.