Nos Problemas 41-44, use o Teorema 2.6.3 para determinar a maior região no plano complexo em que a função f é contínua.
f(z)=Re(z) Im(z)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f dada por f(z)=Re(z)·Im(z) e queremos, usando o Teorema 2.6.3 sobre continuidade de funções de variáveis complexas, achar a maior região em que f é contínua.

Passo 2

Escrevendo em coordenadas reais: se z=x+iy então Re(z)=x e Im(z)=y. Logo f(z)=x·y. Sabemos que as projeções x↦x e y↦y são contínuas em todo $\mathbb{R}^2$, e as funções Re e Im são contínuas em todo $\mathbb{C}$. Além disso, o produto de duas funções contínuas é contínuo.

Passo 3

Aplicando o Teorema 2.6.3: como Re(z) e Im(z) são contínuas em $\mathbb{C}$ e o produto preserva continuidade, f(z)=Re(z)·Im(z) é contínua em todo o plano complexo.

Resposta

A maior região de continuidade de f é todo o plano complexo $\mathbb{C}$.

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