Nos problemas 41 a 50 , ache dy/dx com o emprego da diferenciação implícita.
raizx+y+raizx-y=6

Passo 1

A questão pede para encontrar dy/dx na equação raizx+y + raizx-y = 6, usando diferenciação implícita. Vamos aplicar as regras de derivação (regra da cadeia) para funções do tipo raizu(x,y) e depois resolver para y'.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x e usando regra da cadeia, temos:
ddxl(raizx+yr) + ddxl(raizx-yr) = 0

Passo 3

Agora, cada derivada pela regra da cadeia: para u=x+y, d(raizu)/dx = (1/(2raizu))(du/dx) = 1+y'2raizx+y. E para v=x-y, d(raizv)/dx = 1-y'2raizx-y. Assim:
1+y'2raizx+y + 1-y'2raizx-y = 0

Passo 4

Multiplicando por 2 e reunindo termos com y':
1+y'raizx+y + 1-y'raizx-y = 0

Passo 5

Multiplicando em cruz e agrupando y':
(1+y')raizx-y = -(1-y')raizx+y
$$
y’\bigl(\sqrt{x-y}-\sqrt{x+y}\bigr) = -\bigl(\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}\bigr) y'l(raizx-y-raizx+yr) = -l(raizx+y+raizx-yr)ã
y’ = -\frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}-\sqrt{x+y}} y' = -raizx+y+raizx-yraizx-y-raizx+y
y’ = \frac{x + \sqrt{x^2 - y^2}}{y}$$

Resposta

y' = x + raizx^2 - y^2y

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