Nos problemas 41 a 50 , ache
com o emprego da diferenciação implícita.
Passo 1
A questão pede para encontrar
na equação
, usando diferenciação implícita. Vamos aplicar as regras de derivação (regra da cadeia) para funções do tipo
e depois resolver para
.
Passo 2
Diferenciando ambos os lados em relação a
e usando regra da cadeia, temos:
Passo 3
Agora, cada derivada pela regra da cadeia: para
,
. E para
,
. Assim:
Passo 4
Multiplicando por 2 e reunindo termos com
:
Passo 5
Multiplicando em cruz e agrupando
:
$$
y’\bigl(\sqrt{x-y}-\sqrt{x+y}\bigr) = -\bigl(\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}\bigr)
y’ = -\frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}-\sqrt{x+y}}
y’ = \frac{x + \sqrt{x^2 - y^2}}{y}$$