Nos problemas 41 a 50 , ache dy/dx com o emprego da diferenciação implícita.
x^2-3 x y+y^2=3

Passo 1

A gente tem a equação implícita x^2 - 3xy + y^2 = 3. O conteúdo aqui é diferenciação implícita: vamos precisar derivar cada termo em relação a x, usando regra do produto para xy e regra da cadeia para y^2, lembrando que y é função de x.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x: para x^2 vem 2x; para -3xy aplicamos regra do produto e obtemos -3y - 3xdydx; para y^2 vem 2ydydx; e a constante 3 some. Assim ficamos com
$$2x ;-
\bigl(3y + 3x\frac{dy}{dx}\bigr) + 2y\frac{dy}{dx} = 0.$$

Passo 3

Distribuindo o sinal e reunindo os termos com dydx, temos
2x - 3y - 3xdydx + 2ydydx = 0
Fatorando dydx e isolando, resulta em
(2y - 3x)dydx + (2x - 3y) = 0 Longrightarrow (2y - 3x)dydx = 3y - 2x Longrightarrow dydx = 3y - 2x2y - 3x

Resposta

dydx = 3y - 2x2y - 3x

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