Nos problemas 41 a 50 , ache
com o emprego da diferenciação implícita.
Passo 1
O enunciado quer que a gente ache
na relação implícita
. O conteúdo é diferenciação implícita, e vamos precisar da regra da cadeia e da regra do quociente para derivar cada raiz em função de
e
.
Passo 2
Primeiro escrevemos cada raiz em potência fracionária:
e
. Assim a equação vira:
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados em relação a
. Como o lado direito é constante, vem zero. Pelo lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia:
e
Passo 4
Calculamos as derivadas internas usando o quociente:
Substituindo e simplificando, chegamos a:
Passo 5
Multiplicando tudo por
e usando
e
, obtemos uma expressão que, após agrupar os termos em
e fatorar, dá:
Fatorando ainda mais leva a
e da parte não-trivial
isolamos