Nos problemas 41 a 50 , ache dy/dx com o emprego da diferenciação implícita.
raizyx+raizxy=6

Passo 1

O enunciado quer que a gente ache dy/dx na relação implícita raizy/x+raizx/y=6. O conteúdo é diferenciação implícita, e vamos precisar da regra da cadeia e da regra do quociente para derivar cada raiz em função de x e y(x).

Passo 2

Primeiro escrevemos cada raiz em potência fracionária: raizy/x=(y/x)^1/2 e raizx/y=(x/y)^1/2. Assim a equação vira:
(y/x)^1/2+(x/y)^1/2=6

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. Como o lado direito é constante, vem zero. Pelo lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia:
ddx(y/x)^1/2=tfrac12(y/x)^-1/2cdotddx(y/x)
e
ddx(x/y)^1/2=tfrac12(x/y)^-1/2cdotddx(x/y)

Passo 4

Calculamos as derivadas internas usando o quociente:
ddx(y/x)=x,dy/dx - yx^2, ddx(x/y)=y - x,dy/dxy^2
Substituindo e simplificando, chegamos a:
raizx/y,x,dy/dx - y2x^2+raizy/x,y - x,dy/dx2y^2=0

Passo 5

Multiplicando tudo por 2x^2y^2 e usando raizx/y=x^1/2y^-1/2 e raizy/x=y^1/2x^-1/2, obtemos uma expressão que, após agrupar os termos em dy/dx e fatorar, dá:
dy/dx,x^3/2y^1/2(y-x)-x^1/2y^3/2(y-x)=0
Fatorando ainda mais leva a
x^1/2y^1/2(y-x)(x,dy/dx - y)=0,
e da parte não-trivial x,dy/dx - y=0 isolamos
dy/dx=yx

Resposta

yx

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