Nos problemas 41 a 50 , ache dy/dx com o emprego da diferenciação implícita.
x^-2 / 3+y^2 / 3=1

Passo 1

Temos a curva definida pela equação abaixo e queremos encontrar a derivada implícita dy/dx usando regra do poder e regra da cadeia:
x^-2/3 + y^2/3 = 1

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados em relação a x. Como o lado direito é constante, sua derivada é zero:
ddxl(x^-2/3r) + ddxl(y^2/3r) = 0

Passo 3

Agora aplicamos as regras:
  • Para x^-2/3, a regra do poder dá
ddx(x^-2/3) = -tfrac23x^-5/3
  • Para y^2/3, usamos cadeia (derivada de y em relação a x):
ddx(y^2/3) = tfrac23y^-1/3cdotdydx

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação diferencial, fica:
-tfrac23x^-5/3 + tfrac23y^-1/3dydx = 0
Agora isolamos dy/dx. Primeiro, somamos tfrac23x^-5/3 em ambos os lados:

Passo 5

Depois de isolar, cancelamos o fator comum 2/3 e obtemos
dydx = x^-5/3y^-1/3 = x^-5/3cdot y^1/3 = y^1/3x^5/3

Resposta

dydx = y^1/3x^5/3

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