Uma mancha de óleo espalha-se no mar, em forma de círculo, de forma que seu raio cresce a uma taxa constante de 2 Km / h. Com que velocidade está crescendo o perímetro da mancha quando o raio está medindo 1 Km ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma mancha de óleo no mar está se espalhando em forma de círculo. O raio dessa mancha está crescendo a uma taxa constante de 2 , Km/h. A pergunta é: Com que velocidade está aumentando o perímetro dessa mancha quando o raio mede 1 Km?
Aqui, o conteúdo que vamos usar é Cálculo Diferencial, mais especificamente, taxas de variação relacionadas a funções geométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber a fórmula do perímetro de um círculo e entender como derivar essa fórmula em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula do perímetro de um círculo. O perímetro P é dado por:
P = 2pi r
Onde:
  • P é o perímetro,
  • pi é aproximadamente 3,1416,
  • r é o raio do círculo.

Passo 3

Agora, queremos saber a velocidade com que o perímetro está aumentando. Isso significa que precisamos encontrar a derivada do perímetro em relação ao tempo, ou seja, dPdt.
Vamos derivar a fórmula do perímetro:
dPdt = ddt(2pi r) = 2pi drdt
Aqui, drdt é a taxa de variação do raio em relação ao tempo, que já sabemos que é 2 , Km/h.

Passo 4

Substituindo drdt na equação, temos:
dPdt = 2pi times 2 = 4pi , Km/h

Passo 5

Então, a velocidade com que o perímetro da mancha de óleo está crescendo quando o raio é de 1 Km é:

Resposta

A velocidade de crescimento do perímetro é 4pi , Km/h.

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