Uma mancha de óleo espalha-se no mar, em forma de círculo, de forma que seu raio cresce a uma taxa constante de
. Com que velocidade está crescendo o perímetro da mancha quando o raio está medindo 1 Km ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma mancha de óleo no mar está se espalhando em forma de círculo. O raio dessa mancha está crescendo a uma taxa constante de
. A pergunta é: Com que velocidade está aumentando o perímetro dessa mancha quando o raio mede 1 Km?
Aqui, o conteúdo que vamos usar é Cálculo Diferencial, mais especificamente, taxas de variação relacionadas a funções geométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber a fórmula do perímetro de um círculo e entender como derivar essa fórmula em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula do perímetro de um círculo. O perímetro
é dado por:
Onde:
-
é o perímetro, -
é aproximadamente 3,1416, -
é o raio do círculo.
Passo 3
Agora, queremos saber a velocidade com que o perímetro está aumentando. Isso significa que precisamos encontrar a derivada do perímetro em relação ao tempo, ou seja,
.
Vamos derivar a fórmula do perímetro:
Aqui,
é a taxa de variação do raio em relação ao tempo, que já sabemos que é
.
Passo 4
Substituindo
na equação, temos:
Passo 5
Então, a velocidade com que o perímetro da mancha de óleo está crescendo quando o raio é de 1 Km é:
Resposta
A velocidade de crescimento do perímetro é
.