Analise a função a seguir:
Para que a função acima seja contínua no ponto
, qual deverá ser o valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas formas diferentes:
O objetivo aqui é encontrar o valor de $ p $ que faz com que essa função seja contínua no ponto $ x = 2 $. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como garantimos que a função não tenha “saltos” nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em $ x = a $ se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida em $ x = a $.
- O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
- O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual ao valor da função em $ x = a $.
No nosso caso, queremos que $ f(x) $ seja contínua em $ x = 2 $. Então, precisamos garantir que:
Passo 3
Vamos começar calculando o limite da função quando $ x $ se aproxima de 2:
Perceba que se substituirmos diretamente $ x = 2 $, teremos uma divisão por zero, o que não é permitido. Então, precisamos simplificar essa expressão.
Passo 4
Observe que o numerador $ x^{2} - 4 $ pode ser fatorado:
Substituindo de volta na expressão original, temos:
Aqui, podemos cancelar o termo $ (x - 2) $ no numerador e no denominador, já que $ x \neq 2 $:
Passo 5
Agora, a expressão simplificada para $ f(x) $ quando $ x \neq 2 $ é:
Então, o limite quando $ x $ se aproxima de 2 é:
Passo 6
Agora, sabemos que para $ f(x) $ ser contínua em $ x = 2 $, o valor de $ f(2) $ deve ser igual a esse limite. Ou seja:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para encontrar $ p $:
Resposta
Para que a função seja contínua no ponto $ x = 2 $, o valor de $ p $ deve ser 3.