Analise a função a seguir:
f(x)=ll x^2-4x-2, & x neq 2 3 p-5, & x=2
Para que a função acima seja contínua no ponto x=2, qual deverá ser o valor de p?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas formas diferentes:
f(x)=ll x^2-4x-2, & x neq 2 3 p-5, & x=2
O objetivo aqui é encontrar o valor de $ p $ que faz com que essa função seja contínua no ponto $ x = 2 $. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como garantimos que a função não tenha “saltos” nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em $ x = a $ se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em $ x = a $.
  2. O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
  3. O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual ao valor da função em $ x = a $.
No nosso caso, queremos que $ f(x) $ seja contínua em $ x = 2 $. Então, precisamos garantir que:
x = a

Passo 3

Vamos começar calculando o limite da função quando $ x $ se aproxima de 2:
x
Perceba que se substituirmos diretamente $ x = 2 $, teremos uma divisão por zero, o que não é permitido. Então, precisamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Observe que o numerador $ x^{2} - 4 $ pode ser fatorado:
x^2 - 4
Substituindo de volta na expressão original, temos:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Aqui, podemos cancelar o termo $ (x - 2) $ no numerador e no denominador, já que $ x \neq 2 $:
(x - 2)(x + 2)x - 2

Passo 5

Agora, a expressão simplificada para $ f(x) $ quando $ x \neq 2 $ é:
f(x)
Então, o limite quando $ x $ se aproxima de 2 é:
x neq 2

Passo 6

Agora, sabemos que para $ f(x) $ ser contínua em $ x = 2 $, o valor de $ f(2) $ deve ser igual a esse limite. Ou seja:
f(x)

Passo 7

Vamos resolver essa equação para encontrar $ p $:
p

Resposta

Para que a função seja contínua no ponto $ x = 2 $, o valor de $ p $ deve ser 3.

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