Sabendo que
e
são contínuas no ponto 3 e que
e
, podemos afirmar que:
(a)
para todo
;
(b) existe
tal que para todo
com
, temos
;
© existe
tal que
.
(a)
(b) existe
© existe
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está falando. Temos duas funções, $ f $ e $ g $, que são contínuas no ponto 3. Sabemos que $ f(3) = 1 $ e $ g(3) = 2 $. O conteúdo aqui envolve conceitos de continuidade e propriedades de funções contínuas. Para resolver, vamos precisar lembrar que funções contínuas têm comportamento previsível perto dos pontos onde são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a opção (a): $ f(x) < g(x) $ para todo $ x $. Para concluir isso, precisaríamos que, em todo ponto do domínio, a função $ f $ seja menor que a $ g $. Mas, só sabemos que isso é verdade especificamente no ponto 3. Sem mais informações sobre o comportamento das funções em outros pontos, não podemos afirmar que essa relação vale para todo $ x $. Portanto, a opção (a) não pode ser garantida com os dados fornecidos.
Passo 3
Agora, vamos para a opção (b): existe $ \delta > 0 $ tal que para todo $ x $ com $ |x - 3| < \delta $, temos $ f(x) < g(x) $. Como $ f $ e $ g $ são contínuas em 3, sabemos que seus valores perto de 3 serão próximos de $ f(3) = 1 $ e $ g(3) = 2 $, respectivamente. A teoria da continuidade nos diz que podemos encontrar um intervalo ao redor de 3 onde $ f(x) $ permanece próximo de 1 e $ g(x) $ próximo de 2, garantindo que $ f(x) < g(x) $ nesse intervalo. Assim, a opção (b) é verdadeira.
Passo 4
Por último, vamos considerar a opção ©: existe $ x $ tal que $ f(x) = g(x) $. Com base nas informações dadas, sabemos que em $ x = 3 $, $ f(3) = 1 $ e $ g(3) = 2 $, então nesse ponto específico as funções não são iguais. Entretanto, como as funções são contínuas, elas poderiam se cruzar em algum outro ponto. Mas, com os dados atuais, não temos garantia disso. Portanto, a opção © não pode ser confirmada com certeza.
Resposta
A única afirmação correta é a letra (b).