Determine os valores de a, b in R para que a função definida abaixo seja contínua em R. Justifique muito bem sua resposta:
f(x)= a x^2-10, & se x<2 18, & se x=2 x^2-4x^2-a x+10+b, & se x>2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar valores de a e b de modo que a função por partes
f(x)=a x^2-10,&x<2,18,&x=2,x^2-4x^2-a x+10+b,&x>2
seja contínua em todo R. Sabemos que polinômios e constantes são contínuos, então a única checagem necessária é em x=2, exigindo que o limite à esquerda e o limite à direita em x=2 coincidam com f(2)=18.

Passo 2

Calculamos o limite à esquerda:
limxto2^-f(x)=limxto2^-(a x^2-10)=acdot2^2-10=4a-10
Para continuidade em x=2 precisamos de
4a-10=f(2)=18
o que dá
4a=28Longrightarrow a=7

Passo 3

Agora para x>2, substituímos a=7 na expressão:
$$\frac{x2-4}{x2-7x+10}+b.
$$
Note que
x^2-4x^2-7x+10+b
logo para x^2-4=(x-2)(x+2)e x^2-7x+10=(x-2)(x-5), (e x>2) podemos simplificar:
xneq2

Passo 4

O limite à direita em x=2 fica então
limxto2^+f(x)=limxto2^+l(x+2x-5+br)=2+22-5+b=,-43+b
Para ser contínua, esse limite deve valer f(2)=18, isto é
-tfrac43+b=18Longrightarrow b=18+tfrac43=tfrac583

Resposta

a=7 e b=58/3

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