Nos problemas 55 e 56 , determinar a equaçăo geral do plano que contém o ponto A e a reta interseção dos planos π_{1} e π_{2}.
A(-1,2,0), π_{1}: 2 x-y=0 e π_{2}: x+y-z-4=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Ponto A(-1,2,0).
  • Plano \pi_{1}: 2x-y=0.
  • Plano \pi_{2}: x+y-z-4=0.
O que é pedido:
  • Determinar a equação geral do plano que contém o ponto A e a reta de interseção \pi_{1}\cap\pi_{2}.

Passo 2

Identificar os vetores normais dos planos dados (os coeficientes de x,y,z formam o vetor normal).
  • Para \pi_{1}: 2x-y=0 o vetor normal é \mathbf{n}_1=(2,-1,0).
  • Para \pi_{2}: x+y-z-4=0 o vetor normal é \mathbf{n}_2=(1,1,-1).
Lembrete rápido: o vetor normal de um plano é perpendicular a qualquer vetor que esteja no próprio plano.

Passo 3

A reta de interseção \pi_{1}\cap\pi_{2} tem direção paralela ao produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Calculamos esse produto vetorial (usando o determinante 3×3):
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & -1 & 0 \\\\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
\mathbf{v}=\big((-1)(-1)-0\cdot1,\; -(2(-1)-0\cdot1),\; 2\cdot1-(-1)\cdot1\big)=(1,2,3).
Portanto a direção da reta é \mathbf{v}=(1,2,3).

Passo 4

Agora encontramos um ponto qualquer da reta \pi_{1}\cap\pi_{2}\) resolvendo o sistema: \[\begin{cases} 2x-y=0,\\[4pt] x+y-z-4=0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=2x\]. Substituindo na segunda: \[x+2x-z-4=0 \quad\Rightarrow\quad 3x-z-4=0 \quad\Rightarrow\quad z=3x-4.\] Tomando \(x=t como parâmetro, obtemos a parametrização da reta:
(x,y,z)=(t,\,2t,\,3t-4).
Escolhendo t=0 obtemos um ponto da reta: P_0=(0,0,-4). Logo a reta passa por P_0 e tem direção \mathbf{v}=(1,2,3).]

Passo 5

O plano que queremos contém a reta (ou seja contém P_0 e o vetor diretor \mathbf{v}) e também contém o ponto A. Assim, no plano existem, pelo menos, dois vetores diretores:
  • \mathbf{v}=(1,2,3) (direção da reta),
  • um vetor que liga P_0 a A, que é \overrightarrow{P_0A}=A-P_0=(-1,2,4).

Passo 6

O vetor normal \mathbf{n} do plano procurado é perpendicular a ambos os vetores diretores \mathbf{v} e \overrightarrow{P_0A}. Então calculamos o produto vetorial:
\mathbf{n}=\mathbf{v}\times\overrightarrow{P_0A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ -1 & 2 & 4 \end{vmatrix}.
Calculando:
\mathbf{n}=\big(2\cdot4-3\cdot2,\; -(1\cdot4-3\cdot(-1)),\; 1\cdot2-2\cdot(-1)\big)=(2,-7,4).
Portanto o vetor normal do plano é \mathbf{n}=(2,-7,4).

Passo 7

A equação do plano com normal \mathbf{n}=(2,-7,4) que passa por A(-1,2,0) é dada por
\mathbf{n}\cdot\big((x,y,z)-A\big)=0.
Escrevendo e expandindo:
(2,-7,4)\cdot\big(x+1,\;y-2,\;z-0\big)=0,
2(x+1)-7(y-2)+4z=0.
Expandindo os termos:
2x+2-7y+14+4z=0 \quad\Rightarrow\quad 2x-7y+4z+16=0.

Passo 8

Verificação rápida (sossega o coração): checar se tanto A quanto P_0 satisfazem a equação.
  • Para A(-1,2,0): 2(-1)-7(2)+4(0)+16=-2-14+16=0.
  • Para P_0(0,0,-4): 2\cdot0-7\cdot0+4(-4)+16=-16+16=0.
    Ambos satisfazem, logo a equação está correta.

Resposta

2x-7y+4z+16=0

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