Nos problemas 55 e 56 , determinar a equaçăo geral do plano que contém o ponto A e a reta interseção dos planos π_{1} e π_{2}. A(-1,2,0), π_{1}: 2 x-y=0 e π_{2}: x+y-z-4=0.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Ponto A(-1,2,0).
Plano \pi_{1}: 2x-y=0.
Plano \pi_{2}: x+y-z-4=0.
O que é pedido:
Determinar a equação geral do plano que contém o ponto A e a reta de interseção \pi_{1}\cap\pi_{2}.
Passo 2
Identificar os vetores normais dos planos dados (os coeficientes de x,y,z formam o vetor normal).
Para \pi_{1}: 2x-y=0 o vetor normal é \mathbf{n}_1=(2,-1,0).
Para \pi_{2}: x+y-z-4=0 o vetor normal é \mathbf{n}_2=(1,1,-1).
Lembrete rápido: o vetor normal de um plano é perpendicular a qualquer vetor que esteja no próprio plano.
Passo 3
A reta de interseção \pi_{1}\cap\pi_{2} tem direção paralela ao produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Calculamos esse produto vetorial (usando o determinante 3×3):
Agora encontramos um ponto qualquer da reta \pi_{1}\cap\pi_{2}\) resolvendo o sistema:
\[\begin{cases} 2x-y=0,\\[4pt] x+y-z-4=0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=2x\]. Substituindo na segunda:
\[x+2x-z-4=0 \quad\Rightarrow\quad 3x-z-4=0 \quad\Rightarrow\quad z=3x-4.\]
Tomando \(x=t como parâmetro, obtemos a parametrização da reta:
(x,y,z)=(t,\,2t,\,3t-4).
Escolhendo t=0 obtemos um ponto da reta: P_0=(0,0,-4). Logo a reta passa por P_0 e tem direção \mathbf{v}=(1,2,3).]
Passo 5
O plano que queremos contém a reta (ou seja contém P_0 e o vetor diretor \mathbf{v}) e também contém o ponto A. Assim, no plano existem, pelo menos, dois vetores diretores:
\mathbf{v}=(1,2,3) (direção da reta),
um vetor que liga P_0 a A, que é \overrightarrow{P_0A}=A-P_0=(-1,2,4).
Passo 6
O vetor normal \mathbf{n} do plano procurado é perpendicular a ambos os vetores diretores \mathbf{v} e \overrightarrow{P_0A}. Então calculamos o produto vetorial: