Determinar os pontos de interseção do plano
π:
com os eixos coordenados e, também, a reta interseção deste plano com o plano xOy.
π:
com os eixos coordenados e, também, a reta interseção deste plano com o plano xOy.
Passo 1
O enunciado nos dá o plano
O que ele pede:
- Determinar os pontos de interseção de
com os eixos coordenados (eixo , eixo e eixo ). - Determinar a reta que é a interseção de
com o plano (isto é, com o plano onde ).
Informações relevantes fornecidas:
- A equação do plano é
. - O plano
é o conjunto de pontos com . - Para intersectar um eixo, por exemplo o eixo
, devemos impor as coordenadas dos outros dois eixos iguais a zero (no eixo temos e ), e assim por diante.
Passo 2
Conceito e procedimento para achar interseção com o eixo
:
- Um ponto do eixo
tem coordenadas da forma , isto é, e . - Para encontrar o ponto onde o plano corta o eixo
, substitui-se e na equação do plano e resolve para .
Aplicando isso:
Agora resolvemos
:
Portanto o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 3
Conceito e procedimento para achar interseção com o eixo
:
- Um ponto do eixo
tem coordenadas , ou seja, e . - Substitui-se
e na equação do plano e resolve-se para .
Aplicando isso:
Resolve-se
:
Logo o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 4
Conceito e procedimento para achar interseção com o eixo
:
- Um ponto do eixo
tem coordenadas , ou seja, e . - Substitui-se
e na equação do plano e resolve-se para .
Aplicando isso:
Resolve-se
:
Portanto o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 5
Conceito e procedimento para achar a reta interseção com o plano
:
- O plano
é definido por . - A interseção entre dois planos é, em geral, uma reta. Para encontrar a reta
basta impor na equação de e obter a equação no - (que representa uma reta no plano ). - Depois podemos escrever essa reta em forma paramétrica ou vetorial, que é útil para visualizar direção e um ponto da reta.
Aplicando
em
:
Podemos simplificar dividindo por
:
Expressando
em função de
:
Para obter a forma paramétrica, escolhe-se um parâmetro, por exemplo
. Então
Escrevendo em forma vetorial (com
):
Podemos também organizar como ponto + parâmetro vezes vetor diretor. Tomando
dá o ponto
; tomando
dá o ponto
. O vetor diretor é a diferença entre esses dois pontos:
Uma forma equivalente, usando o ponto
e o vetor diretor
, é
Ambas as formas representam a mesma reta
.
Resposta
Interseção com o eixo
:
Interseção com o eixo :
Interseção com o eixo :
Reta :
(equivalente à equação cartesiana
).
Interseção com o eixo
Interseção com o eixo
Reta