Determinar os pontos de interseção do plano
π: 2 x+4 y-z-4=0
com os eixos coordenados e, também, a reta interseção deste plano com o plano xOy.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano
\pi:\;2x+4y-z-4=0.
O que ele pede:
  • Determinar os pontos de interseção de \pi com os eixos coordenados (eixo x, eixo y e eixo z).
  • Determinar a reta que é a interseção de \pi com o plano xOy (isto é, com o plano onde z=0).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação do plano é \;2x+4y-z-4=0.
  • O plano xOy é o conjunto de pontos com \;z=0.
  • Para intersectar um eixo, por exemplo o eixo x, devemos impor as coordenadas dos outros dois eixos iguais a zero (no eixo x temos y=0 e z=0), e assim por diante.

Passo 2

Conceito e procedimento para achar interseção com o eixo x:
  • Um ponto do eixo x tem coordenadas da forma (x,0,0), isto é, y=0 e z=0.
  • Para encontrar o ponto onde o plano corta o eixo x, substitui-se y=0 e z=0 na equação do plano e resolve para x.
Aplicando isso:
2x+4\cdot 0 - 0 - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x-4=0.
Agora resolvemos 2x-4=0:
2x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Portanto o ponto de interseção com o eixo x é (2,0,0).

Passo 3

Conceito e procedimento para achar interseção com o eixo y:
  • Um ponto do eixo y tem coordenadas (0,y,0), ou seja, x=0 e z=0.
  • Substitui-se x=0 e z=0 na equação do plano e resolve-se para y.
Aplicando isso:
2\cdot 0 + 4y - 0 - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4y-4=0.
Resolve-se 4y-4=0:
4y=4 \quad\Rightarrow\quad y=1.
Logo o ponto de interseção com o eixo y é (0,1,0).

Passo 4

Conceito e procedimento para achar interseção com o eixo z:
  • Um ponto do eixo z tem coordenadas (0,0,z), ou seja, x=0 e y=0.
  • Substitui-se x=0 e y=0 na equação do plano e resolve-se para z.
Aplicando isso:
2\cdot 0 + 4\cdot 0 - z - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad -z-4=0.
Resolve-se -z-4=0:
-z=4 \quad\Rightarrow\quad z=-4.
Portanto o ponto de interseção com o eixo z é (0,0,-4).

Passo 5

Conceito e procedimento para achar a reta interseção com o plano xOy:
  • O plano xOy é definido por \;z=0.
  • A interseção entre dois planos é, em geral, uma reta. Para encontrar a reta \pi\cap xOy basta impor z=0 na equação de \pi e obter a equação no x- y (que representa uma reta no plano xOy).
  • Depois podemos escrever essa reta em forma paramétrica ou vetorial, que é útil para visualizar direção e um ponto da reta.
Aplicando z=0 em \pi:
2x+4y-0-4=0 \quad\Rightarrow\quad 2x+4y-4=0.
Podemos simplificar dividindo por 2:
x+2y-2=0.
Expressando y em função de x:
2y=2-x \quad\Rightarrow\quad y=1-\tfrac{x}{2}.
Para obter a forma paramétrica, escolhe-se um parâmetro, por exemplo t=x. Então
x=t,\qquad y=1-\tfrac{t}{2},\qquad z=0.
Escrevendo em forma vetorial (com t\in\mathbb{R}):
\vec r(t)=\bigl(t,\;1-\tfrac{t}{2},\;0\bigr).
Podemos também organizar como ponto + parâmetro vezes vetor diretor. Tomando t=0 dá o ponto (0,1,0); tomando t=2 dá o ponto (2,0,0). O vetor diretor é a diferença entre esses dois pontos:
(2,0,0)-(0,1,0) = (2,-1,0).
Uma forma equivalente, usando o ponto (2,0,0) e o vetor diretor ( -2,1,0), é
\vec r(s)=\bigl(2,0,0\bigr)+s\bigl(-2,1,0\bigr),\qquad s\in\mathbb{R}.
Ambas as formas representam a mesma reta \pi\cap xOy.

Resposta

Interseção com o eixo x: (2,0,0)
Interseção com o eixo y: (0,1,0)
Interseção com o eixo z: (0,0,-4)
Reta \pi\cap xOy: \vec r(s)=\bigl(2,0,0\bigr)+s\bigl(-2,1,0\bigr),\\ s\in\mathbb{R} (equivalente à equação cartesiana x+2y-2=0,\\ z=0).

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