Nos problemas 55 e 56 , determinar a equaçăo geral do plano que contém o ponto A e a reta interseção dos planos π_{1} e π_{2}.
A(2,0,1), \quad π_{1}: 2 x-3 y-5 z=0 \quad e \quad π_{2}: x-y=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte coisa.
  • Ponto dado: A(2,0,1).
  • Dois planos dados: \pi_{1}: 2x-3y-5z=0, \qquad \pi_{2}: x-y=0.
  • Pergunta: determinar a equação geral do plano que contém o ponto A e a reta de interseção de \pi_{1} e \pi_{2}.

Passo 2

Ideia-chave (sem resolver ainda): a reta de interseção de \pi_{1} e \pi_{2} é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente \pi_{1}=0 e \pi_{2}=0. Qualquer plano que contenha essa reta necessariamente contém todos esses pontos, logo sua equação pode ser obtida como uma combinação linear das equações de \pi_{1} e \pi_{2}. Assim a família de todos os planos que passam pela reta interseção é
(2x-3y-5z)+\lambda(x-y)=0,
onde \lambda\in\mathbb{R} é um parâmetro que identifica cada plano da família.

Passo 3

Escrevendo a equação geral da família e agrupando termos em x,y,z:
(2+\lambda)x+(-3-\lambda)y-5z=0.
Aqui o vetor normal do plano genérico é \mathbf{n}=(2+\lambda,\,-3-\lambda,\,-5). Para escolher o plano da família que contém o ponto A(2,0,1) devemos escolher \lambda de modo que as coordenadas de A satisfaçam a equação.

Passo 4

Substituir A(2,0,1) na equação geral e resolver para \lambda:
(2+\lambda)\cdot 2 + (-3-\lambda)\cdot 0 -5\cdot 1 = 0.
Calcule passo a passo:
2(2+\lambda)-5=0 \implies 4+2\lambda-5=0 \implies 2\lambda-1=0.
Logo
\lambda=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora substitui-se \lambda=\tfrac{1}{2} na equação do plano:
\bigl(2+\tfrac{1}{2}\bigr)x+\bigl(-3-\tfrac{1}{2}\bigr)y-5z=0
que é
\frac{5}{2}x-\frac{7}{2}y-5z=0.
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar frações:
5x-7y-10z=0.
Verificação rápida: substituindo A(2,0,1) obtém-se 5\cdot2-7\cdot0-10\cdot1=10-10=0, então A pertence ao plano. Além disso, pela construção (combinação linear) esse plano contém a reta de interseção de \pi_{1} e \pi_{2}.

Resposta

5x-7y-10z=0

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