Nos problemas 55 e 56 , determinar a equaçăo geral do plano que contém o ponto A e a reta interseção dos planos
e
.
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte coisa.
- Ponto dado:
. - Dois planos dados:
- Pergunta: determinar a equação geral do plano que contém o ponto
e a reta de interseção de e .
Passo 2
Ideia-chave (sem resolver ainda): a reta de interseção de
e
é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente
e
. Qualquer plano que contenha essa reta necessariamente contém todos esses pontos, logo sua equação pode ser obtida como uma combinação linear das equações de
e
. Assim a família de todos os planos que passam pela reta interseção é
onde
é um parâmetro que identifica cada plano da família.
Passo 3
Escrevendo a equação geral da família e agrupando termos em
:
Aqui o vetor normal do plano genérico é
. Para escolher o plano da família que contém o ponto
devemos escolher
de modo que as coordenadas de
satisfaçam a equação.
Passo 4
Substituir
na equação geral e resolver para
:
Calcule passo a passo:
Logo
Passo 5
Agora substitui-se
na equação do plano:
que é
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar frações:
Verificação rápida: substituindo
obtém-se
, então
pertence ao plano. Além disso, pela construção (combinação linear) esse plano contém a reta de interseção de
e
.