Nos problemas abaixo, calcule o valor da integral imprópria ou mostre que a integral diverge.
integral-infty^0 3 e^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral-infty^0 3e^4x,dx. O conteúdo envolvido é integral de função exponencial e tratamento de limites em integrais impróprias.

Passo 2

Substituímos o limite inferior por um parâmetro a que tende a -infty:
integral-infty^0 3e^4x,dx = limato -infty integrala^0 3e^4x,dx

Passo 3

Calculamos a antiderivada de 3e^4x. Como ddxe^4x=4e^4x, temos
integral 3e^4x,dx = 3 cdot 14e^4x = 34e^4x
Então
integrala^0 3e^4x,dx = 34e^4x|x=a^x=0 = 34e^0 - 34e^4a = 34 - 34e^4a

Passo 4

Agora tomamos o limite quando a to -infty. Como 4a to -infty, temos e^4ato 0. Logo,
limato -inftyl(34 - 34e^4ar) = 34 - 0 = 34
A integral converge e seu valor é tfrac34.

Resposta

tfrac34

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