Nos problemas abaixo, calcule o valor da integral imprópria ou mostre que a integral diverge.
integral0^+infty 5 e^-2 x d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral imprópria integral0^+infty5e^-2x,dx. O conteúdo é integral imprópria de função exponencial decrescente, e vamos usar antiderivada e limite.

Passo 2

A integral imprópria é definida como limite da integral em um intervalo finito. Escrevemos
integral0^+infty5e^-2x,dx = limAto+inftyintegral0^A5e^-2x,dx

Passo 3

Agora encontramos a antiderivada de 5e^-2x. Sabemos que a primitiva de e^ax é tfrac1ae^ax. Aqui a=-2, então
integral 5e^-2x,dx = 5cdot1-2e^-2x + C = -52e^-2x + C

Passo 4

Substituímos nos limites de 0 a A:
integral0^A5e^-2x,dx = l[-tfrac52e^-2xr]0^A = -52e^-2A -l(-52e^0r) = -52e^-2A + 52

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando Ato+infty. Como e^-2Ato0, sobra
limAto+inftyl(-52e^-2A + 52r) = 52

Resposta

tfrac52

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