Demonstre as identidades.
2 tg x1-tg^2 x=sen 2 x

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a expressão tfrac2tan x1-tan^2 x é igual a sin2x. O conteúdo envolve definição de tan x em termos de sin x e cos x e as fórmulas de ângulo duplo: sin2x=2sin xcos x e cos2x=cos^2x-sin^2x.

Passo 2

Começamos pegando o lado esquerdo e substituindo tan x=dfracsin xcos x:
2,tan x1-tan^2 x =2,dfracsin xcos x1-l(dfracsin xcos xr)^2
Simplificando numerador e denominador em termos de sin e cos:
2,dfracsin xcos xdfraccos^2x-sin^2xcos^2x =2;sin xcos x;cos^2xcos^2x-sin^2x =2sin x,cos xcos^2x-sin^2x
Reconhecendo as identidades de ângulo duplo: cos^2x-sin^2x=cos2x e 2sin xcos x=sin2x, temos
2sin xcos xcos^2x-sin^2x =sin2xcos2x =tan2x
Portanto a expressão original vale tan2x, não sin2x. Isso mostra que a identidade proposta é falsa.

Resposta

A expressão tfrac2tan x1-tan^2 x simplifica para tan2x, logo não é igual a sin2x. A identidade dada é incorreta.

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