onde alpha, gamma e l são constantes. Se u(x, t)=X(x) T(t) é solução desse problema, encontre as equações diferenciais ordinárias e condições de contorno que as funções X e T satisfazem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial parcial (EDP) que descreve como uma função $ u(x, t) $ muda no espaço $ x $ e no tempo $ t $. O enunciado nos pede para encontrar as equações diferenciais ordinárias (EDOs) e as condições de contorno que as funções $ X(x) $ e $ T(t) $ devem satisfazer, assumindo que a solução pode ser escrita como $ u(x, t) = X(x)T(t) $. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver EDPs dividindo-as em EDOs mais simples.
Derivando $ u(x, t) $ em relação ao tempo $ t $ e ao espaço $ x $:
ut = alpha^2 uxx
u(x, t)
Substituindo na equação original:
t
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis $ x $ e $ t $:
x
Perceba que o lado esquerdo depende apenas de $ t $ e o direito apenas de $ x $. Para que essa igualdade seja válida para todos os $ x $ e $ t $, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de $ -\lambda $. Então, temos duas equações separadas:
t
T'(t)alpha^2 T(t) = X''(x)X(x)
Passo 4
Vamos agora escrever as EDOs para $ T(t) $ e $ X(x) $:
Para $ T(t) $:
T(t)
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Ela descreve como $ T(t) $ evolui no tempo.
Para $ X(x) $:
X(x)
Esta é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Ela descreve o comportamento espacial de $ X(x) $.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições de contorno ao $ u(x, t) = X(x)T(t) $:
Primeira condição de contorno:
u(x, t) = X(x)T(t)
Como $ T(t) $ não é trivial (não é sempre zero), isso implica:
u(0, t) = 0 implies X(0)T(t) = 0
Segunda condição de contorno:
T(t)
Calculando a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
X(0) = 0
Substituindo na condição:
ux(l, t) + gamma u(l, t) = 0
Novamente, como $ T(t) $ não é sempre zero:
u
Passo 6
Resumindo, até aqui encontramos:
A equação diferencial para $ T(t) $:
T(t)
A equação diferencial para $ X(x) $:
T'(t) + alpha^2 lambda T(t) = 0
As condições de contorno para $ X(x) $:
X(x)
X''(x) + lambda X(x) = 0
Resposta
As funções $ X(x) $ e $ T(t) $ satisfazem as seguintes equações diferenciais ordinárias e condições de contorno: