Verifique o teorema de Gauss para o campo vetorial
sendo que o volume limitado pelas superfícies
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
- O campo vetorial é
- O volume
é o conjunto de pontos limitados pelas superfícies e . Ou seja, é o cone reto com vértice na origem, abrindo para cima com geratriz inclinada de , truncado pelo plano . - A superfície de contorno
é composta por duas partes: - a superfície lateral do cone:
, - o disco superior: o plano
com .
- a superfície lateral do cone:
- O enunciado pede: verificar o teorema de Gauss (teorema da divergência) para
e o volume . Isso significa calcular as duas quantidades e mostrar que são iguais: - o integral de volume
, - o fluxo através da superfície fechada
.
- o integral de volume
Passo 2
Explico a ferramenta que vamos usar e a ideia do cálculo (passo curto e pedagógico):
- O teorema de Gauss diz que para um campo suficientemente suave em um volume
com fronteira ,
- Estratégia prática para verificar: calcular
e integrar no volume (lado direito) — normalmente é mais simples — e também calcular explicitamente o fluxo pela superfície fechada (lado esquerdo) para conferir que coincidem.
Passo 3
Calcular a divergência
. Lembro que
, onde
são as componentes do campo.
-
. Então
-
. Derivando em relação a :
-
. Derivando em relação a :
Somando,
Passo 4
Calcular o integral de volume
. Vou usar coordenadas cilíndricas porque a região é axialmente simétrica em torno do eixo
. Em coordenadas cilíndricas:
e o elemento de volume é
.
A condição
vira
, ou seja
(note
pois
). Os limites são:
Substituindo
e multiplicando por
do Jacobiano:
Passo 5
Avaliar o integral de volume passo a passo, observando simetrias:
Escrevo o integrando como . A parte com
irá anular ao integrar em
porque
. Assim
Escrevo o integrando como
Calculo a integral em
:
Portanto
Simplifico o integrando:
Avalio em
:
Multiplicando por
obtém-se
Passo 6
Agora calculo o fluxo através da fronteira
de forma explícita:
. Vou calcular separadamente o fluxo no disco superior
(plano
) e na superfície lateral do cone
.
Primeiro, o disco superior
: é
com
. O vetor normal externo da superfície superior (para fora do volume) aponta para
(para cima), porque o volume está abaixo do plano
.
No disco,
. Assim
Calculo:
e multiplicando por
obtemos
Passo 7
Fluxo pela superfície lateral do cone
. Parametrizo o cone por
com
, usando a relação
:
Calculo os vetores tangentes:
O produto vetorial
dá um vetor normal (com módulo igual à área de superfície por unidade de
):
Nota: este vetor aponta para fora do volume (com componente radial positiva e componente
negativo), ou seja é a normal externa adequada.
Agora avalio
sobre a superfície
: substituir
. Então
O produto escalar com
é
Simplifico termo a termo:
O fluxo pela superfície lateral é
Agora uso simetrias trigonométricas:
-
. -
(pois é derivada de até constante em um período). -
.
Integro em
primeiro:
Agora integro em
:
Avalio em
:
Multiplicando por
obtemos
Passo 8
Somando os fluxos das duas partes da superfície fechada:
Comparando com o integral de volume encontrado no Passo 5, que também vale
, concluímos que o teorema de Gauss está verificado para este campo e este volume.