Verifique o teorema de Gauss para o campo vetorial
\vec{F}=4 x_{1} x_{3} \hat{i}_{1}-x_{1} x_{2} x_{3}^{2} \hat{i}_{2}+3 x_{3} \hat{i}_{3},
sendo que o volume limitado pelas superfícies x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{3}^{2} e 0 \leq x_{3} \leq 4.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • O campo vetorial é
\vec{F}=4 x_{1} x_{3} \,\hat{i}_{1}-x_{1} x_{2} x_{3}^{2}\,\hat{i}_{2}+3 x_{3}\,\hat{i}_{3}.
  • O volume V é o conjunto de pontos limitados pelas superfícies \,x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{3}^{2}\, e \,0\le x_{3}\le 4. Ou seja, é o cone reto com vértice na origem, abrindo para cima com geratriz inclinada de 45^\circ, truncado pelo plano x_{3}=4.
  • A superfície de contorno \partial V é composta por duas partes:
    • a superfície lateral do cone: \,x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{3}^{2},\;0\le x_{3}\le 4,
    • o disco superior: o plano x_{3}=4 com x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\le 4^{2}.
  • O enunciado pede: verificar o teorema de Gauss (teorema da divergência) para \vec{F} e o volume V. Isso significa calcular as duas quantidades e mostrar que são iguais:
    • o integral de volume \displaystyle \iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV,
    • o fluxo através da superfície fechada \displaystyle \iint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}.

Passo 2

Explico a ferramenta que vamos usar e a ideia do cálculo (passo curto e pedagógico):
  • O teorema de Gauss diz que para um campo suficientemente suave em um volume V com fronteira \partial V,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
  • Estratégia prática para verificar: calcular \nabla\cdot\vec{F} e integrar no volume (lado direito) — normalmente é mais simples — e também calcular explicitamente o fluxo pela superfície fechada (lado esquerdo) para conferir que coincidem.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot\vec{F}. Lembro que \nabla\cdot\vec{F}=\dfrac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}+\dfrac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}}+\dfrac{\partial F_{3}}{\partial x_{3}}, onde F_1,F_2,F_3 são as componentes do campo.
  • F_{1}=4 x_{1} x_{3}. Então
\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}=4 x_{3}.
  • F_{2}=-x_{1} x_{2} x_{3}^{2}. Derivando em relação a x_{2}:
\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}}=-x_{1} x_{3}^{2}.
  • F_{3}=3 x_{3}. Derivando em relação a x_{3}:
\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{3}}=3.
Somando,
\nabla\cdot\vec{F}=4 x_{3}-x_{1} x_{3}^{2}+3.

Passo 4

Calcular o integral de volume \displaystyle \iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV. Vou usar coordenadas cilíndricas porque a região é axialmente simétrica em torno do eixo x_{3}. Em coordenadas cilíndricas:
x_{1}=r\cos\theta,\qquad x_{2}=r\sin\theta,\qquad x_{3}=z,
e o elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
A condição x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\le x_{3}^{2} vira r^{2}\le z^{2}, ou seja 0\le r\le z (note z\ge 0 pois 0\le x_{3}\le 4). Os limites são:
0\le\theta\le 2\pi,\qquad 0\le z\le 4,\qquad 0\le r\le z.
Substituindo \nabla\cdot\vec{F}=4z-(r\cos\theta)z^{2}+3 e multiplicando por r do Jacobiano:
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\int_{0}^{z}\big(4z-(r\cos\theta)z^{2}+3\big)\,r\,dr\,dz\,d\theta.

Passo 5

Avaliar o integral de volume passo a passo, observando simetrias:
Escrevo o integrando como (4z+3)r - r^{2}\cos\theta\,z^{2}. A parte com \cos\theta irá anular ao integrar em \theta porque \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0. Assim
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!d\theta\int_{0}^{4}\!dz\int_{0}^{z}\big((4z+3)r\big)\,dr.
Calculo a integral em r:
\int_{0}^{z}(4z+3)r\,dr=(4z+3)\cdot\frac{z^{2}}{2}.
Portanto
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV = \int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{4}\frac{(4z+3)z^{2}}{2}\,dz =2\pi\int_{0}^{4}\frac{4z^{3}+3z^{2}}{2}\,dz.
Simplifico o integrando:
2\pi\int_{0}^{4}\left(2z^{3}+\tfrac{3}{2}z^{2}\right)\,dz =2\pi\left[\tfrac{1}{2}z^{4}+\tfrac{1}{2}z^{3}\right]_{0}^{4}.
Avalio em z=4:
\tfrac{1}{2}(4^{4}+4^{3})=\tfrac{1}{2}(256+64)=\tfrac{1}{2}\cdot 320=160.
Multiplicando por 2\pi obtém-se
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=2\pi\cdot 160=320\pi.

Passo 6

Agora calculo o fluxo através da fronteira \partial V de forma explícita: \partial V=S_{\text{cone}}\cup S_{\text{top}}. Vou calcular separadamente o fluxo no disco superior S_{\text{top}} (plano z=4) e na superfície lateral do cone S_{\text{cone}}.
Primeiro, o disco superior S_{\text{top}}: é z=4 com 0\le r\le 4,\;0\le\theta\le 2\pi. O vetor normal externo da superfície superior (para fora do volume) aponta para +\,\hat{k} (para cima), porque o volume está abaixo do plano z=4.
No disco, \vec{F}\cdot\hat{n}=F_{3}=3x_{3}=3\cdot 4=12. Assim
\Phi_{\text{top}}=\iint_{S_{\text{top}}}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}12\,r\,dr\,d\theta.
Calculo:
\int_{0}^{4}12 r\,dr=12\cdot\frac{4^{2}}{2}=12\cdot 8=96,
e multiplicando por \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi obtemos
\Phi_{\text{top}}=96\cdot 2\pi=192\pi.

Passo 7

Fluxo pela superfície lateral do cone S_{\text{cone}}. Parametrizo o cone por (\theta,z) com 0\le\theta\le 2\pi,\;0\le z\le 4, usando a relação r=z:
\vec{r}(\theta,z)=(z\cos\theta,\;z\sin\theta,\;z).
Calculo os vetores tangentes:
\vec{r}_{\theta}=(-z\sin\theta,\;z\cos\theta,\;0),\qquad \vec{r}_{z}=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1).
O produto vetorial \vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{z} dá um vetor normal (com módulo igual à área de superfície por unidade de \theta\,dz):
\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{z}=(z\cos\theta,\;z\sin\theta,\;-z).
Nota: este vetor aponta para fora do volume (com componente radial positiva e componente z negativo), ou seja é a normal externa adequada.
Agora avalio \vec{F} sobre a superfície r=z: substituir x_{1}=z\cos\theta,\;x_{2}=z\sin\theta,\;x_{3}=z. Então
\vec{F}=(4z^{2}\cos\theta,\;-z^{4}\cos\theta\sin\theta,\;3z).
O produto escalar com \vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{z} é
\vec{F}\cdot(\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{z}) =4z^{2}\cos\theta\cdot z\cos\theta + \big(-z^{4}\cos\theta\sin\theta\big)\cdot z\sin\theta + 3z\cdot(-z).
Simplifico termo a termo:
=4z^{3}\cos^{2}\theta - z^{5}\cos\theta\sin^{2}\theta -3z^{2}.
O fluxo pela superfície lateral é
\Phi_{\text{cone}}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\big(4z^{3}\cos^{2}\theta - z^{5}\cos\theta\sin^{2}\theta -3z^{2}\big)\,dz\,d\theta.
Agora uso simetrias trigonométricas:
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi.
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin^{2}\theta\,d\theta=0 (pois é derivada de \sin^{3}\theta até constante em um período).
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Integro em \theta primeiro:
\int_{0}^{2\pi}\big(4z^{3}\cos^{2}\theta - z^{5}\cos\theta\sin^{2}\theta -3z^{2}\big)\,d\theta =4z^{3}\cdot\pi -0 -3z^{2}\cdot 2\pi =2\pi\big(2z^{3}-3z^{2}\big).
Agora integro em z:
\Phi_{\text{cone}}=2\pi\int_{0}^{4}\big(2z^{3}-3z^{2}\big)\,dz =2\pi\left[\tfrac{1}{2}z^{4}-z^{3}\right]_{0}^{4}.
Avalio em z=4:
\tfrac{1}{2}4^{4}-4^{3}=\tfrac{1}{2}\cdot 256 -64=128-64=64.
Multiplicando por 2\pi obtemos
\Phi_{\text{cone}}=2\pi\cdot 64=128\pi.

Passo 8

Somando os fluxos das duas partes da superfície fechada:
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\Phi_{\text{top}}+\Phi_{\text{cone}}=192\pi+128\pi=320\pi.
Comparando com o integral de volume encontrado no Passo 5, que também vale 320\pi, concluímos que o teorema de Gauss está verificado para este campo e este volume.

Resposta

\displaystyle \iint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=320\pi

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