Utilizando a notação de componentes, determine a divergència e o rotacional do campo de velocidades \vec{v} e somente a divergência do campo de aceleraçōes \vec{a} de um corpo rígido girando em torno de um ponto sixo, onde
\vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}, \quad \vec{a}=\vec{b} \times \vec{r}+\vec{\omega} \times(\vec{\omega} \times \vec{r}),
onde \vec{b} e \vec{\omega} são vetores constantes.

Passo 1

O enunciado dá os campos (vetoriais) e pede:
  • Calcular a divergência de \vec{v}, isto é \nabla\cdot\vec{v}.
  • Calcular o rotacional de \vec{v}, isto é \nabla\times\vec{v}.
  • Calcular somente a divergência de \vec{a}, isto é \nabla\cdot\vec{a}.
As informações fornecidas (estas são todas as quantidades que vou usar):
  • \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}.
  • \vec{a}=\vec{b}\times\vec{r}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}).
  • \vec{\omega} e \vec{b} são vetores constantes (independentes de \vec{r}).
  • \vec{r} é o vetor posição com componentes r_i=x_i (ou seja r_1=x,\;r_2=y,\;r_3=z).
O objetivo final: obter expressões em notação de componentes para \nabla\cdot\vec{v}, \nabla\times\vec{v} e \nabla\cdot\vec{a}.

Passo 2

Vou fixar notação e fórmulas úteis (explicando cada símbolo):
  • Indíces: i,j,k,\dots\in\{1,2,3\}\). Uso a convenção de soma de Einstein: quando um índice se repete, soma-se sobre ele. - Vetores em componentes: por exemplo \(\vec{\omega}\) tem componentes \(\omega_j\), \(\vec{r}\) tem componentes \(r_k=x_k\). - Delta de Kronecker: \(\delta_{ij}=\begin{cases}1,&i=j,\\\ 0,&i\ne j.\end{cases} Tem a propriedade \dfrac{\partial x_k}{\partial x_i}=\delta_{ki}.
  • Épsilon de Levi-Civita: \varepsilon_{ijk} é totalmente antissimétrica e \varepsilon_{123}=1. É usada para produtos vetoriais em componentes: (\vec{u}\times\vec{v})_i=\varepsilon_{ijk}u_j v_k.
  • Definições diferenciais em componentes: \nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_i}{\partial x_i}, \qquad (\nabla\times\vec{F})_i=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial F_k}{\partial x_j}.(Aqui \partial/\partial x_j é \partial_j.)
  • Identidade útil para o produto de duas \varepsilon: \varepsilon_{i j k}\varepsilon_{k l m} =\delta_{i l}\delta_{j m}-\delta_{i m}\delta_{j l},que vou usar para manipular produto vetorial em componentes quando necessário.

Passo 3

Calcular \nabla\cdot\vec{v} em componentes.
  • Escrevo as componentes de \vec{v}: v_i=(\vec{\omega}\times\vec{r})_i=\varepsilon_{ijk}\,\omega_j\,r_k.
  • Aplicando a definição da divergência: \nabla\cdot\vec{v}=\frac{\partial v_i}{\partial x_i} =\frac{\partial}{\partial x_i}\bigl(\varepsilon_{ijk}\omega_j r_k\bigr).Como \varepsilon_{ijk} e \omega_j são constantes (dependem apenas de índices, não de x), elas saem da derivada: \nabla\cdot\vec{v}=\varepsilon_{ijk}\omega_j\frac{\partial r_k}{\partial x_i}.
  • Usando \dfrac{\partial r_k}{\partial x_i}=\dfrac{\partial x_k}{\partial x_i}=\delta_{ki}: \nabla\cdot\vec{v}=\varepsilon_{ijk}\omega_j\delta_{ki}.
  • Contraindo \delta_{ki} com \varepsilon_{ijk} faz k\to i, então aparece \varepsilon_{iji}\omega_j. Mas \varepsilon com dois índices iguais vale zero (por antissimetria), logo \nabla\cdot\vec{v}=0.
Interpretação rápida: campo de velocidade de uma rotação rígida é incompressível localmente (divergência nula).

Passo 4

Calcular \nabla\times\vec{v} usando componentes de forma direta (passo-a-passo elementar).
  • Escrevo explicitamente as componentes de \vec{v} para ficar bem claro: \begin{aligned} v_x &= \omega_y z - \omega_z y,\\\ v_y &= \omega_z x - \omega_x z,\\\ v_z &= \omega_x y - \omega_y x. \end{aligned}(Isto vem de v_i=\varepsilon_{ijk}\omega_j r_k, escrevendo para i=1,2,3.)
  • Uso a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas: (\nabla\times\vec{v})_x=\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}, \quad (\nabla\times\vec{v})_y=\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}, \quad (\nabla\times\vec{v})_z=\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}.
  • Calculo cada termo: \frac{\partial v_z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(\omega_x y-\omega_y x)=\omega_x, \qquad \frac{\partial v_y}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(\omega_z x-\omega_x z)=-\omega_x,portanto (\nabla\times\vec{v})_x=\omega_x-(-\omega_x)=2\omega_x.Analogamente: \frac{\partial v_x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(\omega_y z-\omega_z y)=\omega_y, \quad \frac{\partial v_z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\omega_x y-\omega_y x)=-\omega_y,então (\nabla\times\vec{v})_y=\omega_y-(-\omega_y)=2\omega_y.E para a componente z: \frac{\partial v_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\omega_z x-\omega_x z)=\omega_z, \quad \frac{\partial v_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(\omega_y z-\omega_z y)=-\omega_z,então (\nabla\times\vec{v})_z=\omega_z-(-\omega_z)=2\omega_z.
  • Juntando as componentes: \nabla\times\vec{v}=2\vec{\omega}.
Comentário intuitivo: o rotacional do campo de velocidade de um corpo rígido em rotação é duas vezes o vetor angular (isto aparece também na relação entre velocidade e velocidade média de rotação).

Passo 5

Calcular \nabla\cdot\vec{a}. Escrevo \vec{a} em dois termos e trato cada um separadamente:
\vec{a}=\vec{b}\times\vec{r}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}).
  1. Divergência do primeiro termo \vec{b}\times\vec{r}:
  • Pelo mesmo raciocínio do Passo 3 (pois \vec{b} é constante), tem-se \nabla\cdot(\vec{b}\times\vec{r})=0.
  1. Divergência do segundo termo \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}).
  • Primeiro transformo o produto triplo usando componentes (uso a identidade com \varepsilon mostrada no Passo 2): \bigl(\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})\bigr)_i =\varepsilon_{i j k}\,\omega_j\,\bigl(\varepsilon_{k l m}\,\omega_l\,r_m\bigr).
  • Aplicando a identidade \varepsilon_{i j k}\varepsilon_{k l m}=\delta_{i l}\delta_{j m}-\delta_{i m}\delta_{j l}: \bigl(\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})\bigr)_i =(\delta_{i l}\delta_{j m}-\delta_{i m}\delta_{j l})\omega_j\omega_l r_m.Contraindo deltas dá (\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}))_i =\omega_i(\omega_j r_j)-r_i(\omega_j\omega_j).Em notação vetorial isso é a identidade conhecida do produto vetorial triplo: \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot\vec{r})-\vec{r}\,(\vec{\omega}\cdot\vec{\omega}).
  • Agora calculo a divergência desse vetor: \nabla\cdot\bigl(\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot\vec{r})-\vec{r}\,(\vec{\omega}\cdot\vec{\omega})\bigr) =\nabla\cdot\bigl(\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot\vec{r})\bigr)-(\vec{\omega}\cdot\vec{\omega})\nabla\cdot\vec{r}.Aqui \vec{\omega} é constante, então \nabla\cdot\bigl(\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot\vec{r})\bigr)=\vec{\omega}\cdot\nabla(\vec{\omega}\cdot\vec{r}).
  • Calculo \vec{\omega}\cdot\nabla(\vec{\omega}\cdot\vec{r}): escrevendo em componentes, \vec{\omega}\cdot\nabla(\vec{\omega}\cdot\vec{r}) =\omega_i\frac{\partial}{\partial x_i}(\omega_j r_j) =\omega_i\omega_j\frac{\partial r_j}{\partial x_i} =\omega_i\omega_j\delta_{ji}=\omega_i\omega_i=\vec{\omega}\cdot\vec{\omega}.
  • Além disso \nabla\cdot\vec{r}=\dfrac{\partial r_i}{\partial x_i}=\delta_{ii}=3.
  • Assim a divergência do segundo termo vale: \nabla\cdot\bigl(\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})\bigr) =\vec{\omega}\cdot\vec{\omega}-(\vec{\omega}\cdot\vec{\omega})\cdot 3 =-2\,\vec{\omega}\cdot\vec{\omega}.
  • Somando com a divergência do primeiro termo (que era zero): \nabla\cdot\vec{a}=0+(-2\,\vec{\omega}\cdot\vec{\omega})=-2\,\vec{\omega}\cdot\vec{\omega}.
Interpretação física curta (só para intuir): para rotação constante em torno de um eixo, o campo de aceleração centrípeta tem divergência constante negativa proporcional a -2\|\omega\|^2.

Resposta

\nabla\cdot\vec{v}=0
\nabla\times\vec{v}=2\vec{\omega}
\nabla\cdot\vec{a}=-2\,\vec{\omega}\cdot\vec{\omega}

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