Utilizando a notação de componentes, determine a divergència e o rotacional do campo de velocidades
e somente a divergência do campo de aceleraçōes
de um corpo rígido girando em torno de um ponto sixo, onde
onde
e
são vetores constantes.
Passo 1
O enunciado dá os campos (vetoriais) e pede:
- Calcular a divergência de
, isto é . - Calcular o rotacional de
, isto é . - Calcular somente a divergência de
, isto é .
As informações fornecidas (estas são todas as quantidades que vou usar):
-
. -
. -
e são vetores constantes (independentes de ). -
é o vetor posição com componentes (ou seja ).
O objetivo final: obter expressões em notação de componentes para
,
e
.
Passo 2
Vou fixar notação e fórmulas úteis (explicando cada símbolo):
- Indíces:
Tem a propriedade
. - Épsilon de Levi-Civita:
é totalmente antissimétrica e . É usada para produtos vetoriais em componentes: . - Definições diferenciais em componentes:
(Aqui é .) - Identidade útil para o produto de duas
: que vou usar para manipular produto vetorial em componentes quando necessário.
Passo 3
Calcular
em componentes.
- Escrevo as componentes de
: - Aplicando a definição da divergência:
Como e são constantes (dependem apenas de índices, não de ), elas saem da derivada: - Usando
: - Contraindo
com faz , então aparece . Mas com dois índices iguais vale zero (por antissimetria), logo
Interpretação rápida: campo de velocidade de uma rotação rígida é incompressível localmente (divergência nula).
Passo 4
Calcular
usando componentes de forma direta (passo-a-passo elementar).
- Escrevo explicitamente as componentes de
para ficar bem claro: (Isto vem de , escrevendo para .) - Uso a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas:
- Calculo cada termo:
portanto Analogamente: então E para a componente : então - Juntando as componentes:
Comentário intuitivo: o rotacional do campo de velocidade de um corpo rígido em rotação é duas vezes o vetor angular (isto aparece também na relação entre velocidade e velocidade média de rotação).
Passo 5
Calcular
. Escrevo
em dois termos e trato cada um separadamente:
- Divergência do primeiro termo
:
- Pelo mesmo raciocínio do Passo 3 (pois
é constante), tem-se
- Divergência do segundo termo
.
- Primeiro transformo o produto triplo usando componentes (uso a identidade com
mostrada no Passo 2): - Aplicando a identidade
: Contraindo deltas dá Em notação vetorial isso é a identidade conhecida do produto vetorial triplo: - Agora calculo a divergência desse vetor:
Aqui é constante, então . - Calculo
: escrevendo em componentes, - Além disso
. - Assim a divergência do segundo termo vale:
- Somando com a divergência do primeiro termo (que era zero):
Interpretação física curta (só para intuir): para rotação constante em torno de um eixo, o campo de aceleração centrípeta tem divergência constante negativa proporcional a
.