Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente nabla z de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto nabla z\left(x_{0}, y_{0}\right) (c) e a Derivada direcional D_{u} z em ( x_{0}, y_{0} ) na direção do vetor unitário vec{u}
z=2 x^{2}+3 y^{2}-1\left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,0) o ângulo do vetor u com o eixo x é theta=\pi / 3

Passo 1

O enunciado dá a função escalar
z=2x^{2}+3y^{2}-1
e pede três coisas:
  • (a) o gradiente \nabla z do campo escalar;
  • (b) o valor do gradiente em \left(x_{0},y_{0}\right)=(0,0), isto é \nabla z(0,0);
  • (c) a derivada direcional D_{\mathbf{u}}z em (0,0) na direção do vetor unitário \mathbf{u} cujo ângulo com o eixo x é \theta=\pi/3.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função z depende de duas variáveis x e y.
  • O ponto onde devemos avaliar é \left(0,0\right).
  • O vetor direção é um vetor unitário que forma ângulo \theta=\pi/3 com o eixo x.

Passo 2

O que é o gradiente e como calculamos?
O gradiente \nabla z de uma função z(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de z em relação a cada variável:
\nabla z=\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right).
Cada derivada parcial significa: derivar a função em relação a uma variável mantendo a outra fixa. Vou mostrar isso passo a passo para a nossa função.

Passo 3

Calcular a derivada parcial em relação a x.
Trate y como constante e derive termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}\bigr)=4x porque a derivada de x^{2} é 2x e multiplicando por 2 dá 4x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(3y^{2}\bigr)=0 porque 3y^{2} é constante em relação a x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-1)=0.
Portanto,
\frac{\partial z}{\partial x}=4x.

Passo 4

Calcular a derivada parcial em relação a y.
Agora trate x como constante:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{2}\bigr)=6y porque a derivada de y^{2} é 2y e multiplicando por 3 dá 6y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{2}\bigr)=0 porque 2x^{2} é constante em relação a y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-1)=0.
Portanto,
\frac{\partial z}{\partial y}=6y.

Passo 5

Montar o gradiente usando as derivadas parciais encontradas.
Juntando as duas componentes:
\boxed{\nabla z=\left(4x,\,6y\right).}
Isto responde a parte (a).

Passo 6

Avaliar o gradiente no ponto \left(0,0\right).
É só substituir x=0 e y=0 em \nabla z:
\nabla z(0,0)=\left(4\cdot 0,\,6\cdot 0\right)=(0,0).
Isto responde a parte (b).

Passo 7

O que é a derivada direcional e como calcular?
A derivada direcional de z na direção de um vetor unitário \mathbf{u} no ponto P é dada pelo produto interno (produto escalar) entre o gradiente em P e o vetor \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}z(P)=\nabla z(P)\cdot \mathbf{u}.
Isso é útil porque o gradiente dá a direção de maior crescimento e o produto escalar projeta esse crescimento na direção desejada. Então precisamos do vetor unitário \mathbf{u} correspondente a \theta=\pi/3.

Passo 8

Construir o vetor unitário \mathbf{u} a partir do ângulo \theta=\pi/3.
Um vetor unitário que faz ângulo \theta com o eixo x é
\mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta).
Com \theta=\pi/3 temos \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2} e \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim
\mathbf{u}=\left(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 9

Calcular a derivada direcional em (0,0).
Usando a fórmula do passo 7 e o gradiente no ponto do passo 6:
D_{\mathbf{u}}z(0,0)=\nabla z(0,0)\cdot \mathbf{u}=(0,0)\cdot\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
O produto escalar é
0\cdot \tfrac{1}{2}+0\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}=0.
Portanto a derivada direcional vale zero. Isto responde a parte (c).

Resposta

\nabla z=(4x,\,6y)
\nabla z(0,0)=(0,0)
D_{\mathbf{u}}z(0,0)=0

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