Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente
de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto
(c) e a Derivada direcional
em (
) na direção do vetor unitário
o ângulo do vetor
com o eixo
é
Passo 1
O enunciado dá a função escalar
e pede três coisas:
- (a) o gradiente
do campo escalar; - (b) o valor do gradiente em
, isto é ; - (c) a derivada direcional
em na direção do vetor unitário cujo ângulo com o eixo é .
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função
depende de duas variáveis e . - O ponto onde devemos avaliar é
. - O vetor direção é um vetor unitário que forma ângulo
com o eixo .
Passo 2
O que é o gradiente e como calculamos?
O gradiente de uma função
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável:
O gradiente
Cada derivada parcial significa: derivar a função em relação a uma variável mantendo a outra fixa. Vou mostrar isso passo a passo para a nossa função.
Passo 3
Calcular a derivada parcial em relação a
.
Trate como constante e derive termo a termo:
Trate
-
porque a derivada de é e multiplicando por 2 dá . -
porque é constante em relação a . -
.
Portanto,
Passo 4
Calcular a derivada parcial em relação a
.
Agora trate como constante:
Agora trate
-
porque a derivada de é e multiplicando por 3 dá . -
porque é constante em relação a . -
.
Portanto,
Passo 5
Montar o gradiente usando as derivadas parciais encontradas.
Juntando as duas componentes:
Juntando as duas componentes:
Isto responde a parte (a).
Passo 6
Avaliar o gradiente no ponto
.
É só substituir e
em
:
É só substituir
Isto responde a parte (b).
Passo 7
O que é a derivada direcional e como calcular?
A derivada direcional de na direção de um vetor unitário
no ponto
é dada pelo produto interno (produto escalar) entre o gradiente em
e o vetor
:
A derivada direcional de
Isso é útil porque o gradiente dá a direção de maior crescimento e o produto escalar projeta esse crescimento na direção desejada. Então precisamos do vetor unitário
correspondente a
.
Passo 8
Construir o vetor unitário
a partir do ângulo
.
Um vetor unitário que faz ângulo com o eixo
é
Um vetor unitário que faz ângulo
Com
temos
e
. Assim
Passo 9
Calcular a derivada direcional em
.
Usando a fórmula do passo 7 e o gradiente no ponto do passo 6:
Usando a fórmula do passo 7 e o gradiente no ponto do passo 6:
O produto escalar é
Portanto a derivada direcional vale zero. Isto responde a parte (c).