Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente nabla z de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto nabla z\left(x_{0}, y_{0}\right) (c) e a Derivada direcional D_{u} z em ( x_{0}, y_{0} ) na direção do vetor unitário vec{u}
z=\ln \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) e \left(x_{0}, y_{0}\right)=(3,-1) na direção do vetor vec{v}=4 i+3 j

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
  • Função escalar dada: z=\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right).
  • Ponto onde se pede avaliação: (x_{0},y_{0})=(3,-1).
  • Vetor de direção fornecido: \vec{v}=4\,\mathbf{i}+3\,\mathbf{j}.
    As perguntas a responder:
    (a) encontrar o gradiente \nabla z (expressão geral em termos de x,y);
    (b) avaliar o gradiente no ponto, isto é \nabla z(3,-1);
    (c) calcular a derivada direcional D_{\vec{u}}z(3,-1) onde \vec{u} é o vetor unitário na direção de \vec{v}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar a expressão de z para derivar mais fácil.
A função original é \displaystyle z=\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right).
Usando a identidade \ln(\sqrt{A})=\tfrac{1}{2}\ln(A), obtemos:
z=\tfrac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
Isso facilita porque agora podemos derivar \ln(x^{2}+y^{2}) e aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Lembrando: o gradiente \nabla z é o vetor das derivadas parciais de z:
\nabla z=\left(\dfrac{\partial z}{\partial x},\\ \dfrac{\partial z}{\partial y}\right).
Vamos calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}. Usamos a regra da cadeia para z=\tfrac{1}{2}\ln\!(x^{2}+y^{2}):
  • Derivada de \ln(w) em relação a w é 1/w.
  • Derivada de x^{2}+y^{2} em relação a x é 2x.
    Aplicando:
\dfrac{\partial z}{\partial x}=\tfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Aqui cada passo: o \tfrac{1}{2} vem de fora, 1/(x^{2}+y^{2}) da derivada do \ln e 2x da derivada interna.

Passo 4

Agora \dfrac{\partial z}{\partial y}. Mesma ideia:
  • Derivada de x^{2}+y^{2} em relação a y é 2y.
    Portanto
\dfrac{\partial z}{\partial y}=\tfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Assim o gradiente geral é
\nabla z=\left(\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}},\\ \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\right).
Breve interpretação prática: o gradiente aponta na direção de maior aumento de z e suas componentes são as taxas de variação de z ao longo dos eixos x e y.

Passo 6

Agora avaliar o gradiente no ponto (3,-1).
Calcular primeiro x^{2}+y^{2} em (3,-1):
3^{2}+(-1)^{2}=9+1=10.
Substituindo nas componentes:
\nabla z(3,-1)=\left(\dfrac{3}{10},\\ \dfrac{-1}{10}\right).

Passo 7

Para a derivada direcional precisamos do vetor unitário \vec{u} na direção de \vec{v}=4\,\mathbf{i}+3\,\mathbf{j}.
  • Norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
  • Logo o vetor unitário é
\vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\dfrac{4}{5},\\ \dfrac{3}{5}\right).
Explicação: para obter uma direção pura (sem escala) normaliza-se dividindo pelo comprimento.

Passo 8

Fórmula da derivada direcional: para um campo escalar z, a derivada direcional na direção do vetor unitário \vec{u} é o produto escalar entre o gradiente e \vec{u}:
D_{\vec{u}}z(3,-1)=\nabla z(3,-1)\cdot\vec{u}.
Substituindo os valores:
D_{\vec{u}}z(3,-1)=\left(\dfrac{3}{10},\\\ -\dfrac{1}{10}\right)\cdot\left(\dfrac{4}{5},\\ \dfrac{3}{5}\right).
Calcule o produto escalar componente a componente:
D_{\vec{u}}z(3,-1)=\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{4}{5} + \left(-\dfrac{1}{10}\right)\cdot\dfrac{3}{5} =\dfrac{12}{50}-\dfrac{3}{50}=\dfrac{9}{50}.

Resposta

(a) \nabla z=\left(\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}},\\ \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)
(b) \nabla z(3,-1)=\left(\dfrac{3}{10},\\\ -\dfrac{1}{10}\right)
(c) D_{\vec{u}}z(3,-1)=\dfrac{9}{50}

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