Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente
de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto
(c) e a Derivada direcional
em (
) na direção do vetor unitário
e
na direção do vetor
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
- Função escalar dada:
. - Ponto onde se pede avaliação:
. - Vetor de direção fornecido:
.
As perguntas a responder:
(a) encontrar o gradiente(expressão geral em termos de );
(b) avaliar o gradiente no ponto, isto é;
(c) calcular a derivada direcionalonde é o vetor unitário na direção de .
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar a expressão de
para derivar mais fácil.
A função original é .
Usando a identidade , obtemos:
A função original é
Usando a identidade
Isso facilita porque agora podemos derivar
e aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Lembrando: o gradiente
é o vetor das derivadas parciais de
:
Vamos calcular
. Usamos a regra da cadeia para
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Aplicando:
Aqui cada passo: o
vem de fora,
da derivada do
e
da derivada interna.
Passo 4
Agora
. Mesma ideia:
- Derivada de
em relação a é .
Portanto
Passo 5
Assim o gradiente geral é
Breve interpretação prática: o gradiente aponta na direção de maior aumento de
e suas componentes são as taxas de variação de
ao longo dos eixos
e
.
Passo 6
Agora avaliar o gradiente no ponto
.
Calcular primeiro em
:
Calcular primeiro
Substituindo nas componentes:
Passo 7
Para a derivada direcional precisamos do vetor unitário
na direção de
.
- Norma de
:
- Logo o vetor unitário é
Explicação: para obter uma direção pura (sem escala) normaliza-se dividindo pelo comprimento.
Passo 8
Fórmula da derivada direcional: para um campo escalar
, a derivada direcional na direção do vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente e
:
Substituindo os valores:
Calcule o produto escalar componente a componente:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)