Nos problemas abaixo encontre a solução geral dos sistemas dados:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema
X' = A,X,
com
A = -1 & 4 & 2[6pt] 4 & -1 & -2[6pt] 0 & 0 & 6 ,
onde X=(X1,X2,X3)^T. Como A é triangular por blocos, a equação para X3 está desacoplada e as duas primeiras formam um sistema linear não-homogêneo quando X3(t) é conhecido. Vamos usar esse fato para resolver em etapas: primeiro o sistema homogêneo 2times 2, depois X3, e por fim uma solução particular para as duas primeiras componentes.]
Passo 2
Considere o sistema homogêneo das duas primeiras coordenadas:
Procuramos autovalores de resolvendo
cuja solução é ou .
Para , um autovetor satisfeito por ;é .
Para , de ;vem .
Logo a solução geral do homogêneo é
Passo 3
A terceira equação é
X3' =6,X3,
cuja solução geral é
X3(t)=C3,e^6t
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular para
Como , tentamos .
Substituindo, obtemos
isto é o sistema
cuja solução é .
Logo uma solução particular é
Passo 5
Somando as partes homogênea e particular, a solução geral do sistema completo é