Seja ( ) um espaço métrico e um conjunto compacto. Mostre que existem tais que

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço métrico , dado um conjunto compacto , o supremo das distâncias entre pontos de é efetivamente um máximo. Em outras palavras, queremos encontrar tais que
Vamos usar a definição de compacto (sequências têm subsequências convergentes) e a continuidade de .

Passo 2

Como é supremo, existe uma sequência em tal que
Como é compacto, a sequência tem uma subsequência convergente; chamemos essa subsequência e a subsequência correspondente de novamente de e , com

Passo 3

A função distância é contínua. Logo, passando ao limite na relação
obtemos

Passo 4

Concluímos que os pontos limites satisfazem
isto é, o supremo das distâncias em é alcançado por alguns pares de pontos de .

Resposta

Existem tais que

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