Seja (
) um espaço métrico e
um conjunto compacto. Mostre que existem
tais que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço métrico
, dado um conjunto compacto
, o supremo das distâncias entre pontos de
é efetivamente um máximo. Em outras palavras, queremos encontrar
tais que
Vamos usar a definição de compacto (sequências têm subsequências convergentes) e a continuidade de
.
Passo 2
Como é supremo, existe uma sequência
em
tal que
Como
é compacto, a sequência
tem uma subsequência convergente; chamemos essa subsequência e a subsequência correspondente de
novamente de
e
, com
Passo 3
A função distância
é contínua. Logo, passando ao limite na relação
obtemos
Passo 4
Concluímos que os pontos limites
satisfazem
isto é, o supremo das distâncias em
é alcançado por alguns pares de pontos de
.
Resposta
Existem
tais que