Encontre a solução geral e determine a solução particular tal que y(0)=1.
\frac{d y}{d x}+\frac{1}{2} y=\frac{1}{2} e^{x / 3}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Equação diferencial dada:
\frac{d y}{d x}+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}e^{x/3}.
  • Condição inicial dada: \,y(0)=1.
  • O enunciado pede:
    • encontrar a solução geral da equação diferencial;
    • encontrar a solução particular que satisfaça \,y(0)=1.

Passo 2

Colocando a equação na forma padrão e lembrando a ideia do método (explicação didática):
  • A equação já está na forma linear de primeira ordem
y'+p(x)y=q(x),
com p(x)=\tfrac{1}{2} e q(x)=\tfrac{1}{2}e^{x/3}.
  • Método do fator integrante (intuitivamente): escolhemos uma função \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y(x). Para isso usamos
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Explicando por que: pela regra do produto temos
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y.
Se escolhermos \mu com \mu'=\mu p, então (\mu y)'=\mu y'+\mu p y, que é exatamente \mu vezes o lado esquerdo original. Por isso a definição de \mu acima funciona.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x) e multiplicar a equação:
  • Calculemos \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \tfrac{1}{2}\,dx\Big)=\exp\!\Big(\tfrac{x}{2}\Big)=e^{x/2}.
  • Multiplicando a equação original por e^{x/2} obtemos
e^{x/2}y' + \tfrac{1}{2} e^{x/2} y = \tfrac{1}{2} e^{x/2} e^{x/3}.
  • Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada produto:
\big(e^{x/2}y\big)' = \tfrac{1}{2} e^{x/2} e^{x/3}.

Passo 4

Simplificar o lado direito e integrar ambos os lados:
  • Juntando os exponenciais no lado direito:
e^{x/2} e^{x/3} = e^{x(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3})}=e^{x\cdot \tfrac{5}{6}}.
Logo a igualdade fica
\big(e^{x/2}y\big)' = \tfrac{1}{2} e^{(5/6)x}.
  • Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x/2}y = \int \tfrac{1}{2} e^{(5/6)x}\,dx + C.
  • Calcular a integral do lado direito. Usando \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}, com a=\tfrac{5}{6}:
\int \tfrac{1}{2} e^{(5/6)x}\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{5/6} e^{(5/6)x} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{6}{5} e^{(5/6)x} = \tfrac{3}{5} e^{(5/6)x}.
  • Portanto
e^{x/2}y = \tfrac{3}{5} e^{(5/6)x} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolar y e simplificar para obter a solução geral:
  • Multiplicando por e^{-x/2} para isolar y:
y = e^{-x/2}\Big(\tfrac{3}{5} e^{(5/6)x} + C\Big).
  • Simplificando o primeiro termo usando a soma de expoentes:
e^{-x/2} e^{(5/6)x} = e^{(5/6-1/2)x} = e^{(5/6-3/6)x} = e^{(2/6)x} = e^{x/3}.
  • Assim a solução geral fica
y(x)=\tfrac{3}{5} e^{x/3} + C e^{-x/2},
com C constante arbitrária.

Passo 6

Determinar a solução particular que satisfaz y(0)=1:
  • Avaliando a solução geral em x=0:
y(0)=\tfrac{3}{5} e^{0} + C e^{0} = \tfrac{3}{5} + C.
  • Impondo y(0)=1:
\tfrac{3}{5} + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = 1 - \tfrac{3}{5} = \tfrac{2}{5}.
  • Portanto a solução particular é
y(x)=\tfrac{3}{5} e^{x/3} + \tfrac{2}{5} e^{-x/2}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança):
  • Derivando a solução particular:
y'(x)=\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{1}{3}e^{x/3} + \tfrac{2}{5}\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)e^{-x/2} = \tfrac{1}{5}e^{x/3} - \tfrac{1}{5}e^{-x/2}.
  • Calculando y'+\tfrac{1}{2}y:
y'+\tfrac{1}{2}y = \Big(\tfrac{1}{5}e^{x/3} - \tfrac{1}{5}e^{-x/2}\Big) + \tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{3}{5}e^{x/3} + \tfrac{2}{5}e^{-x/2}\Big).
Agrupando termos:
\text{coeficiente de }e^{x/3}:\\ \tfrac{1}{5}+\tfrac{3}{10}=\tfrac{2}{10}+\tfrac{3}{10}=\tfrac{5}{10}=\tfrac{1}{2},
\text{coeficiente de }e^{-x/2}:\\\ -\tfrac{1}{5}+\tfrac{2}{10}= -\tfrac{2}{10}+\tfrac{2}{10}=0.
Logo
y'+\tfrac{1}{2}y = \tfrac{1}{2} e^{x/3},
que coincide com o lado direito da equação original. Verificação concluída.

Resposta

Geral: y(x)=\dfrac{3}{5} e^{x/3} + C e^{-x/2}
Particular com y(0)=1: y(x)=\dfrac{3}{5} e^{x/3} + \dfrac{2}{5} e^{-x/2}

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