Encontre a solução geral e determine a solução particular tal que
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Equação diferencial dada:
- Condição inicial dada:
. - O enunciado pede:
- encontrar a solução geral da equação diferencial;
- encontrar a solução particular que satisfaça
.
Passo 2
Colocando a equação na forma padrão e lembrando a ideia do método (explicação didática):
- A equação já está na forma linear de primeira ordem
com
e
.
- Método do fator integrante (intuitivamente): escolhemos uma função
tal que, ao multiplicar a equação por , o lado esquerdo se torne a derivada do produto . Para isso usamos
Explicando por que: pela regra do produto temos
Se escolhermos
com
, então
, que é exatamente
vezes o lado esquerdo original. Por isso a definição de
acima funciona.
Passo 3
Calcular o fator integrante
e multiplicar a equação:
- Calculemos
:
- Multiplicando a equação original por
obtemos
- Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada produto:
Passo 4
Simplificar o lado direito e integrar ambos os lados:
- Juntando os exponenciais no lado direito:
Logo a igualdade fica
- Integramos ambos os lados em relação a
:
- Calcular a integral do lado direito. Usando
, com :
- Portanto
onde
é constante de integração.
Passo 5
Isolar
e simplificar para obter a solução geral:
- Multiplicando por
para isolar :
- Simplificando o primeiro termo usando a soma de expoentes:
- Assim a solução geral fica
com
constante arbitrária.
Passo 6
Determinar a solução particular que satisfaz
:
- Avaliando a solução geral em
:
- Impondo
:
- Portanto a solução particular é
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança):
- Derivando a solução particular:
- Calculando
:
Agrupando termos:
Logo
que coincide com o lado direito da equação original. Verificação concluída.
Resposta
Geral:
Particular com
: