Nos Problemas abaixo, plote a curva de nível f(x, y)=C para os valores especificados de C.
f(x, y)=x e^y ; C=1, C=e

Passo 1

A questão pede para desenhar as curvas de nível da função f(x,y)=x e^y para dois valores de C. O conteúdo aqui é nível de função de duas variáveis, e vamos precisar usar a definição de conjunto de nível.

Passo 2

A curva de nível de valor C de uma função f(x,y) é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem f(x,y)=C. Nesse caso, queremos x e^y=C.

Passo 3

Para obter a equação explícita, basta resolver x e^y=C em função de x:
x e^y = C
Isolando x:
x = C e^-y

Passo 4

Agora é só aplicar os dois valores de C:
Para C=1 temos
x = 1,e^-y = e^-y, e para C=e temos
x = e,e^-y = e^1 - y

Passo 5

Para esboçar essas curvas:
  • Ambas vivem no semiplano x>0, pois e^-y>0.
  • Quando y=0, a curva de C=1 passa por (1,0) e a de C=e por (e,0).
  • À medida que yto +infty, xto0^+. À medida que yto -infty, xto +infty.
  • São curvas decrescentes (exponenciais invertidas) no plano xy.

Resposta

As curvas de nível são dadas por:
Para C=1:
x = e^-y
Para C=e:
x = e^1 - y
Ambas são curvas exponenciais decrescentes no semiplano x>0, passando por (1,0) e (e,0) respectivamente, com assíntota vertical em x=0.

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