Nos problemas abaixo, resolva a equação.
x \frac{d v}{d x}=\frac{1-4 v^{2}}{3 v}
x \frac{d v}{d x}=\frac{1-4 v^{2}}{3 v}
Passo 1
Estamos lidando com uma EDO de primeira ordem e variáveis separáveis:
. Para resolver, vamos separar as variáveis e integrar.
Passo 2
Reescrevemos para separar
e
. Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
, obtemos
Passo 3
Agora integramos cada lado. No lado esquerdo, note que a derivada de
é
, então
No lado direito,
Passo 4
Igualando as integrais, temos
Multiplicando tudo por
e reunindo constantes em
, fica
Passo 5
Exponenciando ambos os lados, obtemos a forma implícita da solução:
Chamando
, simplificamos para
Passo 6
Por fim, isolamos
:
Resposta
A solução geral é
onde
é constante arbitrária de integração.