Nos problemas abaixo, resolva a equação.
x \frac{d v}{d x}=\frac{1-4 v^{2}}{3 v}

Passo 1

Estamos lidando com uma EDO de primeira ordem e variáveis separáveis: x dvdx = 1 - 4v^23v. Para resolver, vamos separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevemos para separar v e x. Multiplicando ambos os lados por 3v1 - 4v^2 e dividindo por x, obtemos
3v1 - 4v^2 , dv = dxx

Passo 3

Agora integramos cada lado. No lado esquerdo, note que a derivada de 1 - 4v^2 é -8v, então
integral 3v1 - 4v^2 , dv = 3 integral v1 - 4v^2 , dv = 3 l(-18r) ln|1 - 4v^2| = -38 ln|1 - 4v^2|
No lado direito,
integral dxx = ln|x| + C1

Passo 4

Igualando as integrais, temos
-tfrac38 ln|1 - 4v^2| = ln|x| + C1
Multiplicando tudo por -tfrac83 e reunindo constantes em C, fica
ln|1 - 4v^2| = -tfrac83 ln|x| + C

Passo 5

Exponenciando ambos os lados, obtemos a forma implícita da solução:
|1 - 4v^2| = e^C ; |x|^-8/3
Chamando K = pm e^C, simplificamos para
1 - 4v^2 = K x^-8/3

Passo 6

Por fim, isolamos v:
4v^2 = 1 - K x^-8/3,
v^2 = 1 - K x^-8/34,
v(x) = pm 12 raiz1 - K x^-8/3

Resposta

A solução geral é
v(x) = pm 12 raiz1 - K x^-8/3,
onde K é constante arbitrária de integração.

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