Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Limitado pelos paraboloides
Limitado pelos paraboloides
Passo 1
O exercício pede pra gente achar o volume do sólido que fica entre os paraboloides
(por baixo) e
(por cima), usando coordenadas polares. Vamos usar integração dupla em polares para calcular
.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir pra quais valores de
e
o sólido existe. Igualando as superfícies em coordenadas polares (onde
e
) temos:
Isso dá
Passo 3
Agora configuramos a integral em coordenadas polares. A altura do sólido em cada ponto é
E o elemento de área é
Passo 4
Basta agora calcular essa integral. Integramos primeiro em
:
Passo 5
Em seguida integramos em
: