Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Limitado pelos paraboloides z=3 x^2+3 y^2 e z=4-x^2-y^2

Passo 1

O exercício pede pra gente achar o volume do sólido que fica entre os paraboloides z=3x^2+3y^2 (por baixo) e z=4-x^2-y^2 (por cima), usando coordenadas polares. Vamos usar integração dupla em polares para calcular V=integral duplaR (zsup-zinf),dA.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir pra quais valores de r e theta o sólido existe. Igualando as superfícies em coordenadas polares (onde x=rcostheta e y=rsintheta) temos:
3r^2 = 4 - r^2
Isso dá 4r^2=4 logo r^2=1 e r=1 (escolhemos r>=0). O ângulo theta varia de 0 a 2pi.

Passo 3

Agora configuramos a integral em coordenadas polares. A altura do sólido em cada ponto é
zsup-zinf = (4 - r^2) - (3r^2) = 4 - 4r^2
E o elemento de área é dA = r,dr,dtheta. Logo
V = integral0^2pi!integral0^1 (4 - 4r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Basta agora calcular essa integral. Integramos primeiro em r:
integral0^1 (4r - 4r^3),dr = l[2r^2 - r^4r]0^1 = 2 - 1 = 1

Passo 5

Em seguida integramos em theta:
V = integral0^2pi 1,dtheta = 2pi

Resposta

2pi

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