Para cada um dos itens, encontre os máximos e os mínimos globais da função f(x) no intervalo I. Dica: Use o Teorema do Intervalo Fechado.
f(x)=e^-x-e^-2 x, I=[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos globais de f(x)=e{-x}−e{-2x} no intervalo I=[0,1], usando o Teorema do Valor Extremo (Intervalo Fechado). Vamos precisar derivar f, achar pontos críticos em (0,1) e comparar valores em 0, em 1 e no ponto crítico.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(e^-xr)-ddxl(e^-2xr)=-e^-x+2e^-2x=e^-2xl(2-e^xr) Logo, f’(x)=0 quando 2−e^x=0, isto é, e^x=2 ⇒ x=\ln2, que está dentro de (0,1).

Passo 3

Avaliamo f nos pontos 0, 1 e \ln2:
f(0)=e^0-e^0=1-1=0, f(1)=e^-1-e^-2=1e-1e^2=e-1e^2approx0,2325, f(ln2)=e^-ln2-e^-2ln2=12-14=14=0,25

Passo 4

Comparando os valores: f(0)=0 é o menor; f(\ln2)=1/4 é o maior. Pelo Teorema do Valor Extremo, esses são os extremos globais no intervalo fechado [0,1].

Resposta

O mínimo global é f(0)=0 em x=0. O máximo global é f(\ln2)=\tfrac14 em x=\ln2.

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