Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Homogênea) y^{\prime}=\frac{y-x}{x};

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO
y' = \frac{y - x}{x},
que é do tipo homogênea de 1ª ordem, pois o segundo membro depende de \tfrac{y}{x}. Para equações homogêneas usamos a substituição
y = u x,
onde u é função de x.

Passo 2

Substituindo y = u x, temos
y' = u + x\,\frac{du}{dx}.
Logo a EDO fica
u + x\,\frac{du}{dx} = \frac{ux - x}{x} = u - 1,
isto é,
x\,\frac{du}{dx} = -1.

Passo 3

A equação
x\,\frac{du}{dx} = -1
é separável. Escrevendo
\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x}
e integrando, obtemos
u = -\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 4

Voltando à variável y, usamos y = u x:
y = x\bigl(-\ln\lvert x\rvert + C\bigr) = -\,x\ln\lvert x\rvert + Cx.

Resposta

y = -\,x\ln\lvert x\rvert + Cx.

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