Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Separável) \frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{y}
e indica que é uma equação separável. Ou seja, podemos colocar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro para integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por y\,dx:
y\,dy = (x+1)\,dx.
Em seguida, integramos cada lado:
\int y\,dy = \int (x+1)\,dx.

Passo 3

Calculando as integrais, obtemos
\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + x + C,
onde C é a constante de integração. Para simplificar, multiplicamos tudo por 2 e renomeamos a constante:
y^2 = x^2 + 2x + C_1.
Finalmente, isolamos y:
y(x) = \pm\sqrt{x^2 + 2x + C_1}.

Resposta

A solução geral da equação é
y^2 = x^2 + 2x + C_1 \quad\text{ou}\quad y(x) = \pm\sqrt{x^2 + 2x + C_1}.

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