Resolva os PVT’s dados, usando transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=t tal que y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = t
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace.
Conteúdo envolvido: transformada de Laplace de derivadas, tabela de transformadas e frações parciais.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Seja Y(s)=\Laplace\{y(t)\}. Usando
\Laplace\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\quad \Laplace\{y'\}=sY(s)-y(0),
e \Laplace\{t\}=1/s^2, obtemos
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot0-0\bigr)+3\bigl(sY(s)-0\bigr)+2Y(s)=\frac1{s^2}.

Passo 3

Fatorando Y(s) no lado esquerdo:
\bigl(s^2+3s+2\bigr)Y(s)=\frac1{s^2} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{1}{s^2\,(s^2+3s+2)}.
Observamos que s^2+3s+2=(s+1)(s+2), logo
Y(s)=\frac{1}{s^2\,(s+1)(s+2)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais:
\frac{1}{s^2(s+1)(s+2)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s+1}+\frac{D}{s+2}.
Multiplicando por s^2(s+1)(s+2) e igualando, encontra-se
A=-\tfrac{3}{4},\quad B=\tfrac12,\quad C=1,\quad D=-\tfrac{1}{4}.
Assim
Y(s)=-\frac{3}{4}\,\frac1{s}+\frac12\,\frac1{s^2}+\frac1{s+1}-\frac{1}{4}\,\frac1{s+2}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa termo a termo:
y(t) =-\tfrac{3}{4}\cdot1 +\tfrac12\cdot t +e^{-t} -\tfrac14\,e^{-2t} =\tfrac12\,t- \tfrac{3}{4}+e^{-t}-\tfrac{1}{4}e^{-2t}.

Resposta

y(t)=\frac12\,t - \frac{3}{4} + e^{-t} - \frac{1}{4}e^{-2t}.

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