Nos problemas abaixo, use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+25 y=0 ; \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 8y' + 25y = 0,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=3
usando a Transformada de Laplace. O conteúdo envolve aplicar as propriedades \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)
para converter a EDO no domínio s.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} em cada termo e denotando \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), temos
\mathcal{L}\{y''\} -8\,\mathcal{L}\{y'\} +25\,\mathcal{L}\{y\} = 0
ou seja
\bigl(s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)\;-\;8\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)\;+\;25\,Y(s)\;=\;0.
Substituindo y(0)=0 e y'(0)=3, fica
s^2Y(s)-3 \;-\;8s\,Y(s)\;+\;25\,Y(s)\;=\;0.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s), obtemos
\bigl(s^2 -8s +25\bigr)Y(s) \;=\;3 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) \;=\;\frac{3}{s^2 -8s +25}.

Passo 4

Para inverter a transformada, completamos o quadrado no denominador:
s^2 -8s +25 = (s-4)^2 +9.
Logo
Y(s) = \frac{3}{(s-4)^2 + 3^2}.

Passo 5

Reconhecemos o par-padrão
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\} =\frac{b}{(s-a)^2+b^2}.
Aqui a=4 e b=3, pois o numerador é 3. Portanto, a inversa dá
y(t)=e^{4t}\,\sin(3t).

Resposta

y(t)=e^{4t}\,\sin(3t).

Exercícios relacionados