Nos problemas de 6 a 9 , achar a solução do problema de valor inicial proposto.
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo $ y’ + y = 2x e^{2x} $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica usada para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, identificamos os componentes da equação diferencial no formato padrão:
Aqui, $ P(x) = 1 $ e $ Q(x) = 2x e^{2x} $.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Como $ P(x) = 1 $, temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ e^{x} $:
Note que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Para resolver a integral à direita, usamos integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Então, temos:
Passo 6
Para isolar $ y $, dividimos tudo por $ e^{x} $:
Simplificando os termos com $ e^{2x} $:
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $:
Resolvendo para $ C $:
Substituindo $ C $ na expressão de $ y $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: