Nos problemas de 6 a 9 , achar a solução do problema de valor inicial proposto.
y^prime+y=2 x e^2 x, y(0)=1;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo $ y’ + y = 2x e^{2x} $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica usada para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, identificamos os componentes da equação diferencial no formato padrão:
y' + P(x)y = Q(x)
Aqui, $ P(x) = 1 $ e $ Q(x) = 2x e^{2x} $.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
mu(x)
Como $ P(x) = 1 $, temos:
mu(x) = e^integral P(x) , dx

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ e^{x} $:
e^x
Note que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
e^x y' + e^x y = 2x e^3x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Para resolver a integral à direita, usamos integração por partes, onde escolhemos:
e^x y = integral 2x e^3x , dx
u = 2x Rightarrow du = 2 , dx
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
dv = e^3x , dx Rightarrow v = 13 e^3x
Então, temos:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 6

Para isolar $ y $, dividimos tudo por $ e^{x} $:
y
Simplificando os termos com $ e^{2x} $:
e^x
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $:
y = 2x3 e^2x - 29 e^2x + C e^-x
Resolvendo para $ C $:
e^2x
Substituindo $ C $ na expressão de $ y $:
y = ( 2x3 - 29 ) e^2x + C e^-x

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = ( 2x3 - 29 ) e^2x + 119 e^-x

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