Nos problemas 1-8, ache uma solução geral para a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros.
6. y^prime prime(theta)+16 y(theta)=sec 4 theta

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''(theta) + 16,y(theta) = sec 4theta
usando o método da variação de parâmetros. O conteúdo envolve encontrar a solução da homogênea associada e depois construir uma particular via variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da homogênea
y'' + 16y = 0
A equação característica é r^2 + 16 = 0, cujas raízes são r = pm 4i. Logo a solução homogênea é
yh(theta) = C1cos4theta + C2sin4theta,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para variação de parâmetros tomamos as soluções fundamentais
y1(theta) = cos 4theta, y2(theta) = sin 4theta
O Wronskiano é
W(theta) = y1 & y2 y'1 & y'2 = cos 4theta & sin 4theta -4 sin 4theta & 4 cos 4theta = 4 cos^2 4theta + 4 sin^2 4theta = 4

Passo 4

As fórmulas da variação de parâmetros dão
u1'(theta) = -y2(theta),f(theta)W(theta) = -sin4theta;sec4theta4 = -tan4theta4,
u2'(theta) = y1(theta),f(theta)W(theta) = cos4theta;sec4theta4 = 14

Passo 5

Agora integramos para achar u1 e u2:
u1(theta) = integral u1'(theta),dtheta = -14integral tan4theta,dtheta = -14l(-14lnl|cos4thetar|r) = 116lnl|cos4thetar|,
u2(theta) = integral u2'(theta),dtheta = integral 14,dtheta = theta4

Passo 6

A solução particular é
yp(theta) = u1(theta),y1(theta) + u2(theta),y2(theta) = 116lnl|cos4thetar|;cos4theta + theta4,sin4theta

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação não-homogênea é
y(theta) = yh(theta) + yp(theta) = C1cos4theta + C2sin4theta + 116lnl|cos4thetar|;cos4theta + theta4,sin4theta

Resposta

y(theta) = C1cos4theta + C2sin4theta + 116lnl|cos4thetar|;cos4theta + theta4,sin4theta

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