Nos problemas 1-8, ache uma solução geral para a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros.
8. y^prime prime+4 y=cosec^2(2 t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 4y = csc^2(2t)
usando o método da variação de parâmetros. Aqui o conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos precisar (1) achar a solução geral da associada homogênea, (2) calcular a Wronskiana das duas soluções fundamentais, (3) aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular e (4) somar homogênea e particular.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' + 4y = 0
assumimos y=e^rt, o que leva à equação característica
r^2 + 4 = 0implies r = pm 2i
Logo uma base de soluções é
y1(t) = cos(2t), y2(t) = sin(2t)
A solução geral homogênea é
yh = C1cos(2t) + C2sin(2t)

Passo 3

Calculamos a Wronskiana de y1,y2:
W = cos(2t) & sin(2t) -2sin(2t) & 2cos(2t) = 2l(cos^2(2t)+sin^2(2t)r)=2

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros,
u1(t) = -integral y2(t),g(t)W,dt = -tfrac12integral sin(2t),csc^2(2t),dt = -tfrac12integral sin(2t)sin^2(2t),dt = -tfrac12integral csc(2t),dt
Como
integral csc(2t),dt = tfrac12lnl|tan(t)r| + K,
vemos
u1(t) = -tfrac14lnl|tan(t)r|

Passo 5

Da mesma forma,
u2(t) = integral y1(t),g(t)W,dt = tfrac12integral cos(2t),csc^2(2t),dt = tfrac12integral cos(2t)sin^2(2t),dt = tfrac12integral cot(2t)csc(2t),dt
Fazendo u=2t, du=2,dt, obtemos
u2(t) = tfrac14integral cot(u)csc(u),du = -tfrac14,csc(u) = -tfrac14,csc(2t)

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = -tfrac14lnl|tan(t)r|cos(2t) ;-;tfrac14,csc(2t),sin(2t)
Como csc(2t)sin(2t)=1, simplifica-se para
yp = -tfrac14cos(2t),lnl|tan(t)r| ;-;tfrac14

Passo 7

Somando homogênea e particular, a solução geral é
y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) ;-;tfrac14cos(2t),lnl|tan(t)r| ;-;tfrac14

Resposta

boxed y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) - tfrac14cos(2t),lnl|tan(t)r| - tfrac14

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