Determine se cada uma das equações nos Problemas 1 a 8 é exata. Se for, encontre a solução.
4)
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Passo 1
Temos a equação diferencial
. O conteúdo aqui é verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral, usando a forma
e a condição de exatidão
.
Passo 2
Reescrevemos a equação multiplicando por
e por
:
Daí identificamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
. Integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Para achar
, usamos
. Derivando
em relação a
:
e igualamos a
. Logo
Assim, a solução implícita geral é