Determine se cada uma das equações nos Problemas 1 a 8 é exata. Se for, encontre a solução.
4) d yd t=-a x+b yb x

Passo 1

Temos a equação diferencial dydx = -a x + b yb x. O conteúdo aqui é verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral, usando a forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 e a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Reescrevemos a equação multiplicando por dx e por b x:
(b x),dy + (a x + b y),dx = 0
Daí identificamos
M(x,y) = a x + b y, N(x,y) = b x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = b, partial Npartial x = b
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que partial phi/partial x = M(x,y). Integramos em relação a x:
phi(x,y) = integral (a x + b y),dx = a2x^2 + b x y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Para achar h(y), usamos partial phi/partial y = N(x,y). Derivando phi em relação a y:
partial phipartial y = b x + h'(y)
e igualamos a N(x,y) = b x. Logo
h'(y) = 0 implies h(y) = constante
Assim, a solução implícita geral é
phi(x,y) = C implies a2x^2 + b x y = C

Resposta

tfraca2x^2 + b x y = C

Exercícios relacionados