Nos problemas de 1 a 8 , classifique a equação como homogênea, Bernoulli, com coeficientes lineares, ou da forma y^prime=G(a x+b y). Em seguida, resolva-as.
(y-4 x-1)^2 d x-d y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar e resolver a equação diferencial de primeiro ordem
(y - 4x - 1)^2,dx - dy = 0
Ela se enquadra na forma y'=G(ax+by+c) com G(t)=t^2 e u=ax+by+c=y-4x-1.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u=y-4x-1. Então
dudx=ddx(y-4x-1)=y'-4
Como de fato y'=u^2, temos
dudx=u^2-4

Passo 3

Agora separamos variáveis:
duu^2-4=dx
Explico: aqui usamos que u^2-4=(u-2)(u+2) e aplicamos o método de separação de variáveis, integrando cada lado.

Passo 4

Fazendo frações parciais:
1u^2-4=14l(1u-2-1u+2r)
Então
integralduu^2-4=14integrall(1u-2-1u+2r)du =14lnl|u-2u+2r|+C
E do lado direito integral dx=x+C1, absorvendo constantes, obtemos
lnl|u-2u+2r|=4x+C2

Passo 5

Retornando u=y-4x-1, a solução implícita fica
y-4x-1-2y-4x-1+2=Ce^4x,
ou seja
y-4x-3y-4x+1=Ce^4x,
que é a forma geral da solução.

Passo 6

Observação: podemos escrever de modo explícito isolando y, mas a forma acima já representa corretamente a família de soluções.

Resposta

A equação é da forma y’=G(ax+by+c). Fazendo u=y-4x-1 e integrando, obtemos a solução implícita
y-4x-3y-4x+1=Ce^4x,
que é a solução geral.

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